कैलकुलस उदाहरण

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$

चरण 1

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} d x$

चरण 4

आंशिक भिन्न अपघटन का प्रयोग करके भिन्न लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भिन्न को विघटित करें और सामान्य भाजक से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 3 x + 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $2$ है और जिसका योग $- 3$ है.

$- 2, - 1$

चरण 4.1.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$\frac{1}{(x - 2) (x - 1)}$

चरण 4.1.2

भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि भाजक में गुणनखंड रैखिक है, इसलिए उसके स्थान पर एक ही चर डालें $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

चरण 4.1.3

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$

चरण 4.1.4

मूल व्यंजक के भाजक से समीकरण में प्रत्येक भिन्न को गुणा करें. इस स्थिति में, भाजक $(x - 2) (x - 1)$ होगा.

$\frac{1 (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

चरण 4.1.5

$x - 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

चरण 4.1.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

चरण 4.1.6

$x - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

चरण 4.1.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

चरण 4.1.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.7.1

$x - 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.7.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 = \frac{A (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

चरण 4.1.7.1.2

$(A) (x - 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

चरण 4.1.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

चरण 4.1.7.3

$- 1$ को $A$ के बाईं ओर ले जाएं.

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

चरण 4.1.7.4

$- 1 A$ को $- A$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

चरण 4.1.7.5

$x - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.7.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

चरण 4.1.7.5.2

$(B) (x - 2)$ को $1$ से विभाजित करें.

$1 = A x - A + (B) (x - 2)$

चरण 4.1.7.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 = A x - A + B x + B \cdot - 2$

चरण 4.1.7.7

$- 2$ को $B$ के बाईं ओर ले जाएं.

$1 = A x - A + B x - 2 B$

चरण 4.1.8

$- A$ ले जाएं.

$1 = A x + B x - A - 2 B$

चरण 4.2

आंशिक भिन्न चर के लिए समीकरण बनाएंं और समीकरणों की प्रणाली स्थापित करने के लिए उनका उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

समीकरण के दोनों ओर के $x$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$0 = A + B$

चरण 4.2.2

उन पदों, जिनमें $x$ न हो, के गुणांकों को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना चाहिए.

$1 = - 1 A - 2 B$

चरण 4.2.3

आंशिक भिन्नों के गुणांक ज्ञात करने के लिए समीकरणों की प्रणाली सेट करें.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

चरण 4.3

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$A$ के लिए $0 = A + B$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

समीकरण को $A + B = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$A + B = 0$

$1 = - 1 A - 2 B$

चरण 4.3.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $B$ घटाएं.

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

चरण 4.3.2

प्रत्येक समीकरण में $A$ की सभी घटनाओं को $- B$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$A$ की सभी घटनाओं को $1 = - 1 A - 2 B$ में $- B$ से बदलें.

$1 = - 1 (- B) - 2 B$

$A = - B$

चरण 4.3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

$- 1 (- B) - 2 B$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.1

$- 1 (- B)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.1.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 = 1 B - 2 B$

$A = - B$

चरण 4.3.2.2.1.1.2

$B$ को $1$ से गुणा करें.

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

चरण 4.3.2.2.1.2

$B$ में से $2 B$ घटाएं.

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

चरण 4.3.3

$B$ के लिए $1 = - B$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

समीकरण को $- B = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$- B = 1$

$A = - B$

चरण 4.3.3.2

$- B = 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.1

$- B = 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

चरण 4.3.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

चरण 4.3.3.2.2.2

$B$ को $1$ से विभाजित करें.

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

चरण 4.3.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.3.1

$1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

चरण 4.3.4

प्रत्येक समीकरण में $B$ की सभी घटनाओं को $- 1$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

$B$ की सभी घटनाओं को $A = - B$ में $- 1$ से बदलें.

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

चरण 4.3.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

चरण 4.3.5

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$A = 1, B = - 1$

चरण 4.4

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$ में प्रत्येक आंशिक भिन्न गुणांक को $A$ और $B$ के मानों से बदलें.

$\frac{1}{x - 2} + \frac{- 1}{x - 1}$

चरण 4.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{1}{x - 2} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 6

मान लीजिए $u_{1} = x - 2$ . फिर $d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{1} = x - 2$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$x - 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

चरण 6.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 6.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 6.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 6.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 7

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$\ln (| u_{1} |) + C + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 9

मान लीजिए $u_{2} = x - 1$ . फिर $d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u_{2} = x - 1$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 9.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 9.1.3

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 9.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 9.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 9.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 10

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\ln (| u_{1} |) + C - (\ln (| u_{2} |) + C)$

चरण 11

सरल करें.

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 12

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C$

चरण 13

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x - 2$ से बदलें.

$\ln (\frac{| x - 2 |}{| u_{2} |}) + C$

चरण 13.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$\ln (\frac{| x - 2 |}{| x - 1 |}) + C$

चरण 14

उत्तर फलन $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\ln (\frac{| x - 2 |}{| x - 1 |}) + C$