कैलकुलस उदाहरण

$(\sin (y) - y \sin (x)) d x + (\cos (x) + x \cos (y) - y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = \sin (y) - y \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) - y \sin (x)]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\sin (y) - y \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$

चरण 1.3

$y$ के संबंध में $\sin (y)$ का व्युत्पन्न $\cos (y)$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $- \sin (x)$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x) \cdot 1$

चरण 1.4.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x)$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = \cos (x) + x \cos (y) - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) + x \cos (y) - y]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\cos (x) + x \cos (y) - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $\cos (y)$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x \cos (y)$ का व्युत्पन्न $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.4.3

$\cos (y)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) + 0$

चरण 2.5.2

$- \sin (x) + \cos (y)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y)$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $\cos (y) - \sin (x)$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- \sin (x) + \cos (y)$ प्रतिस्थापित करें.

$\cos (y) - \sin (x) = - \sin (x) + \cos (y)$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$\cos (y) - \sin (x) = - \sin (x) + \cos (y)$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int \sin (y) - y \sin (x) d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = \sin (y) - y \sin (x)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int \sin (y) d x + \int - y \sin (x) d x$

चरण 5.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = \sin (y) x + C + \int - y \sin (x) d x$

चरण 5.3

चूँकि $- y$ बटे $x$ अचर है, $- y$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = \sin (y) x + C - y \int \sin (x) d x$

चरण 5.4

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का इंटीग्रल $- \cos (x)$ है.

$f (x, y) = \sin (y) x + C - y (- \cos (x) + C)$

चरण 5.5

सरल करें.

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos (x) + x \cos (y) - y$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\sin (y) x + y \cos (x) + g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\sin (y) x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\sin (y) x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [\sin (y) x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\sin (y) x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ है.

$x \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

चरण 8.3.2

$y$ के संबंध में $\sin (y)$ का व्युत्पन्न $\cos (y)$ है.

$x \cos (y) + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

चरण 8.4

$\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

चूंकि $\cos (x)$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ है.

$x \cos (y) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

चरण 8.4.2

$x \cos (y) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

चरण 8.4.3

$\cos (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$x \cos (y) + \cos (x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x \cos (y) + \cos (x) + \frac{d g}{d y} = \cos (x) + x \cos (y) - y$

चरण 8.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x \cos (y) + \cos (x) = \cos (x) + x \cos (y) - y$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x \cos (y)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} + \cos (x) = \cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y)$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $\cos (x)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y) - \cos (x)$

चरण 9.1.3

$\cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y) - \cos (x)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$x \cos (y)$ में से $x \cos (y)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) - y + 0 - \cos (x)$

चरण 9.1.3.2

$\cos (x) - y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) - y - \cos (x)$

चरण 9.1.3.3

$\cos (x)$ में से $\cos (x)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

चरण 9.1.3.4

$- y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - y$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $- y$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = - y$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - y d y$

चरण 10.3

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - \int y d y$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 10.5

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ को $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 12

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{1}{2} y^{2} + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$y^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$

चरण 12.2

गुणनखंडों को $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = x \sin (y) + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$