कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d f}{d x} = 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4}$ , $f (0) = 9$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d f = 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d f = \int 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f + C_{1} = \int 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $45$ बटे $x$ अचर है, $45$ को समाकलन से हटा दें.

$f + C_{1} = 45 \int x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = 9 x^{2} + 4$ .फिर $d u = 18 x d x$ , तो $\frac{1}{18} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = 9 x^{2} + 4$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$9 x^{2} + 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4]$

चरण 2.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $9 x^{2} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x^{2}$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.3.2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.3.2.1.3.3

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$18 x + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.3.2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$18 x + 0$

चरण 2.3.2.1.4.2

$18 x$ और $0$ जोड़ें.

$18 x$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$f + C_{1} = 45 \int \sqrt{u} \frac{1}{18} d u$

चरण 2.3.3

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{18}$ को मिलाएं.

$f + C_{1} = 45 \int \frac{\sqrt{u}}{18} d u$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{18}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{18}$ को समाकलन से हटा दें.

$f + C_{1} = 45 (\frac{1}{18} \int \sqrt{u} d u)$

चरण 2.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.1

$\frac{1}{18}$ और $45$ को मिलाएं.

$f + C_{1} = \frac{45}{18} \int \sqrt{u} d u$

चरण 2.3.5.1.2

$45$ और $18$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.2.1

$45$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$f + C_{1} = \frac{9 (5)}{18} \int \sqrt{u} d u$

चरण 2.3.5.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.2.2.1

$18$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$f + C_{1} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

चरण 2.3.5.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f + C_{1} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

चरण 2.3.5.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int \sqrt{u} d u$

चरण 2.3.5.2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 2.3.6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$f + C_{1} = \frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

चरण 2.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ को $\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1

$\frac{5}{2}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.2

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$f + C_{1} = \frac{10}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f + C_{1} = \frac{10}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.4

$10$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.4.1

$10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f + C_{1} = \frac{2 (5)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.4.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f + C_{1} = \frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.8

$u$ की सभी घटनाओं को $9 x^{2} + 4$ से बदलें.

$f + C_{1} = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

चरण 3

$x$ के लिए $0$ और $f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ में $f$ के लिए $9$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$9 = \frac{5}{3} {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

चरण 4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

चरण 4.2.1.2

$9$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{5}{3} \cdot {(0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

चरण 4.2.2

$0$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{5}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + K = 9$

चरण 4.2.3

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{5}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

चरण 4.2.4

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 9$

चरण 4.2.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 9$

चरण 4.2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{5}{3} \cdot 2^{3} + K = 9$

चरण 4.2.6

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{5}{3} \cdot 8 + K = 9$

चरण 4.2.7

$\frac{5}{3} \cdot 8$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.7.1

$\frac{5}{3}$ और $8$ को मिलाएं.

$\frac{5 \cdot 8}{3} + K = 9$

चरण 4.2.7.2

$5$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{40}{3} + K = 9$

चरण 4.3

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{40}{3}$ घटाएं.

$K = 9 - \frac{40}{3}$

चरण 4.3.2

$9$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$K = 9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

चरण 4.3.3

$9$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$K = \frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3}$

चरण 4.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$K = \frac{9 \cdot 3 - 40}{3}$

चरण 4.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$9$ को $3$ से गुणा करें.

$K = \frac{27 - 40}{3}$

चरण 4.3.5.2

$27$ में से $40$ घटाएं.

$K = \frac{- 13}{3}$

चरण 4.3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$K = - \frac{13}{3}$

चरण 5

$- \frac{13}{3}$ को $f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- \frac{13}{3}$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{13}{3}$

चरण 5.2

$\frac{5}{3}$ और ${(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$f = \frac{5 {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13}{3}$

चरण 5.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f = \frac{5 {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - 13}{3}$