कैलकुलस उदाहरण

$2 y d x + e^{- 3 x} d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y d x$ घटाएं.

$e^{- 3 x} d y = - 2 y d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$e^{- 3 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$e^{- 3 x} y$ में से $e^{- 3 x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{e^{- 3 x} (y)} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{e^{- 3 x} y} y d x$

चरण 3.3

$- 2$ और $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x} y} y d x$

चरण 3.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$e^{- 3 x} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

चरण 3.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

चरण 3.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x}} d x$

चरण 3.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

चरण 4.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

चरण 4.3.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x)$

चरण 4.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x$

चरण 4.3.3.2

$e^{- 3 x}$ के घातांक को नकारें और भाजक से बाहर निकालें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 {(e^{- 3 x})}^{- 1} d x$

चरण 4.3.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.3.1

घातांक को ${(e^{- 3 x})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.3.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{- 3 x \cdot - 1} d x$

चरण 4.3.3.3.1.2

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{3 x} d x$

चरण 4.3.3.3.2

$e^{3 x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{3 x} d x$

चरण 4.3.4

मान लीजिए $u = 3 x$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

मान लें $u = 3 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 4.3.4.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.3.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 4.3.4.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 4.3.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

चरण 4.3.5

$e^{u}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

चरण 4.3.6

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

चरण 4.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

$\frac{1}{3}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{3} \int e^{u} d u$

चरण 4.3.7.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

चरण 4.3.8

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

चरण 4.3.9

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

चरण 4.3.10

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C}$

चरण 5.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C} = | y |$

चरण 5.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समीकरण को $| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$

चरण 5.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$e^{3 x}$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$| y | = e^{- \frac{e^{3 x} \cdot 2}{3} + C}$

चरण 5.3.2.2

$2$ को $e^{3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$| y | = e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

चरण 5.3.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

चरण 6

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$ को $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$

चरण 6.2

$e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$

चरण 6.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$