कैलकुलस उदाहरण

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + y$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + y$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + y$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 1.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 1.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 1.1.3.1.2

$\frac{1}{y}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y x} + \frac{y}{x}$

चरण 1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$\frac{y}{x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{y}$

चरण 1.2.2

प्रत्येक व्यंजक को $y x$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$\frac{y}{x}$ को $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y x} + \frac{y \cdot y}{x y}$

चरण 1.2.2.2

$y x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

चरण 1.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y \cdot y}{x y}$

चरण 1.2.4

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{x y}$

चरण 1.3

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x}$

चरण 1.4

दोनों पक्षों को $\frac{y}{1 + y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$\frac{1 + y^{2}}{y}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y x}$

चरण 1.5.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$y x$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y (x)}$

चरण 1.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y x}$

चरण 1.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

चरण 1.5.3

$1 + y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

चरण 1.5.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

चरण 1.6

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = 1 + y^{2}$ .फिर $d u = 2 y d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = y d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = 1 + y^{2}$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$1 + y^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $1 + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 2.2.1.1.3

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 2.2.1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 y$

चरण 2.2.1.1.5

$0$ और $2 y$ जोड़ें.

$2 y$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.2.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.6

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + y^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.3

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| x |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln (| 1 + y^{2} |)$ को मिलाएं.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

चरण 3.3

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

चरण 3.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 2 \ln (| x |)$ को सरल करें.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

चरण 3.4.1.1.2

${| x |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

चरण 3.4.1.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

चरण 3.6

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}$

चरण 3.7

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

समीकरण को $\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

चरण 3.7.2

दोनों पक्षों को $x^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

चरण 3.7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

चरण 3.7.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

चरण 3.7.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.2.1

गुणनखंडों को $e^{2 C} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$| 1 + y^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

चरण 3.7.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$1 + y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

चरण 3.7.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

चरण 3.7.4.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

चरण 4.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$