कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x y$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों में $x y$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{3}$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int x d x}$

चरण 2.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

चरण 2.4

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ से गुणा करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$

चरण 3.2

गुणनखंडों को $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लीजिए $u = \frac{x^{2}}{2}$ .फिर $d u = x d x$ , तो $\frac{1}{x} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

मान लें $u = \frac{x^{2}}{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.1

$\frac{x^{2}}{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 7.1.1.2

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 7.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2} (2 x)$

चरण 7.1.1.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.4.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} x$

चरण 7.1.1.4.2

$\frac{2}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{2}$

चरण 7.1.1.4.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2}$

चरण 7.1.1.4.3.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x$

चरण 7.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {\sqrt{2 u}}^{2} e^{u} d u$

चरण 7.2

${\sqrt{2 u}}^{2}$ को $2 u$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\sqrt{2 u}$ को ${(2 u)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {({(2 u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} d u$

चरण 7.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} d u$

चरण 7.2.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

चरण 7.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

चरण 7.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{1} e^{u} d u$

चरण 7.2.5

सरल करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 2 u e^{u} d u$

चरण 7.3

चूँकि $2$ बटे $u$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int u e^{u} d u$

चरण 7.4

$\int w d v = w v - \int v d w$ , जहां $w = u$ और $dv = e^{u}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

चरण 7.5

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

चरण 7.6

सरल करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

चरण 7.7

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x^{2}}{2}$ से बदलें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2}}{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

चरण 7.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.1

$\frac{x^{2}}{2}$ और $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ को मिलाएं.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

चरण 7.8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

चरण 7.8.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

चरण 7.8.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

चरण 7.8.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

चरण 7.9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

चरण 8

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ और $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.1

$x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ में से $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 8.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.1.2.4

$x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.2.1

$\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.2.1.1

$\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.2.1.2

$- x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.2.1.3

$x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.2.3

$1$ में से $1$ घटाएं.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.3

$x^{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$y = x^{2} e^{\frac{0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.4

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$y = x^{2} e^{0} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.5

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$y = x^{2} \cdot 1 + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.6

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.7

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ और $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.7.1

$- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ में से $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.7.2.1

$1$ से गुणा करें.

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.7.2.4

$- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.8.1

$\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.8.1.1

$\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.8.1.2

$- x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.8.1.3

$x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.8.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.8.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.8.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.8.3

$1$ में से $1$ घटाएं.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.9

$x^{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.10

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$y = x^{2} - 2 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.11

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$y = x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8.3.1.12

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = x^{2} - 2 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$