कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 1.2

$- \frac{2 y}{x}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 1.3

$y$ और $- \frac{2}{x}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = - \frac{2}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

चरण 2.2

$- \frac{2}{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

चरण 2.2.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

चरण 2.2.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

चरण 2.2.4

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

चरण 2.2.5

सरल करें.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- 2 \ln (x)}$

चरण 2.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

चरण 2.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$x^{- 2}$

चरण 2.6

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x^{2}}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $\frac{1}{x^{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $\frac{1}{x^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ और $\frac{d y}{d x}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 3.2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 3.2.3

$\frac{2}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 3.2.4

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$\frac{2 y}{x}$ को $\frac{1}{x^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 3.2.4.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.1

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 3.2.4.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 3.2.4.2.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 3.3

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{1}{x^{2} + 1}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$x^{2}$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

चरण 7.1.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

चरण 7.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ का इंटीग्रल $\arctan (x) + C$ है.

$\frac{1}{x^{2}} y = \arctan (x) + C$

चरण 8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$\frac{1}{x^{2}}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{y}{x^{2}} = \arctan (x) + C$

चरण 8.2

दोनों पक्षों को $x^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\arctan (x) + C) x^{2}$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\arctan (x) + C) x^{2}$

चरण 8.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = (\arctan (x) + C) x^{2}$

चरण 8.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$(\arctan (x) + C) x^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \arctan (x) x^{2} + C x^{2}$

चरण 8.3.2.1.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1.2.1

गुणनखंडों को $\arctan (x) x^{2} + C x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$y = x^{2} \arctan (x) + C x^{2}$

चरण 8.3.2.1.2.2

$x^{2} \arctan (x)$ और $C x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = C x^{2} + x^{2} \arctan (x)$