कैलकुलस उदाहरण

$(1 + 2 y) d x + (x - 4) d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(1 + 2 y) d x$ घटाएं.

$(x - 4) d y = - (1 + 2 y) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (x - 4) d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x - 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (x - 4) d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

चरण 3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

चरण 3.3

$1 + 2 y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

चरण 3.3.2

$(x - 4) (1 + 2 y)$ में से $1 + 2 y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (x - 4)} (1 + 2 y) d x$

चरण 3.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (x - 4)} (1 + 2 y) d x$

चरण 3.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{x - 4} d x$

चरण 3.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{x - 4} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{1 + 2 y} d y = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

मान लीजिए $u_{1} = 1 + 2 y$ .फिर $d u_{1} = 2 d y$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

मान लें $u_{1} = 1 + 2 y$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$1 + 2 y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [1 + 2 y]$

चरण 4.2.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $1 + 2 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$ है.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$

चरण 4.2.1.1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

चरण 4.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.3.1

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 4.2.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 2 \cdot 1$

चरण 4.2.1.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 2$

चरण 4.2.1.1.4

$0$ और $2$ जोड़ें.

$2$

चरण 4.2.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$\frac{1}{u_{1}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

चरण 4.2.2.2

$2$ को $u_{1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

चरण 4.2.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

चरण 4.2.4

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

चरण 4.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

चरण 4.2.6

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $1 + 2 y$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 4} d x$

चरण 4.3.2

मान लीजिए $u_{2} = x - 4$ . फिर $d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

मान लें $u_{2} = x - 4$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$x - 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

चरण 4.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 4.3.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 4.3.2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.3.2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.3.2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.3

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

चरण 4.3.4

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

चरण 4.3.5

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x - 4$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \ln (| x - 4 |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) = - \ln (| x - 4 |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |)) = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln (| 1 + 2 y |)$ को मिलाएं.

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

चरण 5.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

चरण 5.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

चरण 5.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \ln (| x - 4 |)) + 2 C$

चरण 5.2.2.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\ln (| 1 + 2 y |) = - 2 \ln (| x - 4 |) + 2 C$

चरण 5.3

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| 1 + 2 y |) + 2 \ln (| x - 4 |) = 2 C$

चरण 5.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$\ln (| 1 + 2 y |) + 2 \ln (| x - 4 |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| x - 4 |)$ को सरल करें.

$\ln (| 1 + 2 y |) + \ln ({| x - 4 |}^{2}) = 2 C$

चरण 5.4.1.1.2

${| x - 4 |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (| 1 + 2 y |) + \ln ({(x - 4)}^{2}) = 2 C$

चरण 5.4.1.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}) = 2 C$

चरण 5.5

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2})} = e^{2 C}$

चरण 5.6

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}) = 2 C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{2 C} = | 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}$

चरण 5.7

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

समीकरण को $| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$

चरण 5.7.2

$| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ के प्रत्येक पद को ${(x - 4)}^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1

$| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ के प्रत्येक पद को ${(x - 4)}^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 5.7.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1

${(x - 4)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 5.7.2.2.1.2

$| 1 + 2 y |$ को $1$ से विभाजित करें.

$| 1 + 2 y | = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 5.7.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$1 + 2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 5.7.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$

चरण 5.7.5

$2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.5.1

$2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

चरण 5.7.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

चरण 5.7.5.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

चरण 5.7.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.5.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 5.7.5.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$

चरण 6

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\pm \frac{C}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$

चरण 6.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = \frac{C \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$