कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d^{2} s}{d t^{2}} = \sin (3 t) + \cos (3 t)$

चरण 1

$t$ के संबंध में दोनों पक्षों का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न $t$ के संबंध में दूसरे व्युत्पन्न के समाकलन के बराबर है.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) + \cos (3 t) d t$

चरण 1.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) d t + \int \cos (3 t) d t$

चरण 1.3

मान लीजिए $u_{1} = 3 t$ .फिर $d u_{1} = 3 d t$ , तो $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

मान लें $u_{1} = 3 t$ . $\frac{d u_{1}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$3 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [3 t]$

चरण 1.3.1.2

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$3 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 1.3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 1.3.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 1.3.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

चरण 1.4

$\sin (u_{1})$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{d s}{d t} = \int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

चरण 1.5

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

चरण 1.6

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का इंटीग्रल $- \cos (u_{1})$ है.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (3 t) d t$

चरण 1.7

मान लीजिए $u_{2} = 3 t$ .फिर $d u_{2} = 3 d t$ , तो $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

मान लें $u_{2} = 3 t$ . $\frac{d u_{2}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1.1

$3 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [3 t]$

चरण 1.7.1.2

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$3 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 1.7.1.3

$3 \cdot 1$

चरण 1.7.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 1.7.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

चरण 1.8

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

चरण 1.9

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 1.10

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

चरण 1.11

सरल करें.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

चरण 1.12

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 t$ से बदलें.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

चरण 1.12.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 t$ से बदलें.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

चरण 1.13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d s}{d t} = - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

चरण 2

समीकरण को फिर से लिखें.

$d s = (- \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}) d t$

चरण 3

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d s = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

चरण 3.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

चरण 3.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

चरण 3.3.2

चूँकि $- \frac{1}{3}$ बटे $t$ अचर है, $- \frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

चरण 3.3.3

मान लीजिए $u_{3} = 3 t$ .फिर $d u_{3} = 3 d t$ , तो $\frac{1}{3} d u_{3} = d t$ . $u_{3}$ और $d$ $u_{3}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

मान लें $u_{3} = 3 t$ . $\frac{d u_{3}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.1

$3 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [3 t]$

चरण 3.3.3.1.2

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$3 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 3.3.3.1.3

$3 \cdot 1$

चरण 3.3.3.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 3.3.3.2

$u_{3}$ और $d u_{3}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) \frac{1}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

चरण 3.3.4

$\cos (u_{3})$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{3})}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

चरण 3.3.5

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{3}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

चरण 3.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

चरण 3.3.6.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

चरण 3.3.7

$u_{3}$ के संबंध में $\cos (u_{3})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{3})$ है.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

चरण 3.3.8

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

चरण 3.3.9

मान लीजिए $u_{4} = 3 t$ .फिर $d u_{4} = 3 d t$ , तो $\frac{1}{3} d u_{4} = d t$ . $u_{4}$ और $d$ $u_{4}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.9.1

मान लें $u_{4} = 3 t$ . $\frac{d u_{4}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.9.1.1

$3 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [3 t]$

चरण 3.3.9.1.2

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$3 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 3.3.9.1.3

$3 \cdot 1$

चरण 3.3.9.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 3.3.9.2

$u_{4}$ और $d u_{4}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) \frac{1}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

चरण 3.3.10

$\sin (u_{4})$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{4})}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

चरण 3.3.11

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{4}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) d u_{4}) + \int C_{3} d t$

चरण 3.3.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.12.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

चरण 3.3.12.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

चरण 3.3.13

$u_{4}$ के संबंध में $\sin (u_{4})$ का इंटीग्रल $- \cos (u_{4})$ है.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + \int C_{3} d t$

चरण 3.3.14

स्थिरांक नियम लागू करें.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + C_{3} t + C_{7}$

चरण 3.3.15

सरल करें.

$s + C_{4} = - \frac{\sin (u_{3})}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

चरण 3.3.16

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.16.1

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $3 t$ से बदलें.

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

चरण 3.3.16.2

$u_{4}$ की सभी घटनाओं को $3 t$ से बदलें.

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (3 t)}{9} + C_{3} t + C_{8}$

चरण 3.3.17

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C_{3} t + C_{8}$

चरण 3.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $D$ के रूप में समूहित करें.

$s = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C t + D$