कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3$ ; , $y (1) = 6$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = (7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

चरण 2.3.2

चूँकि $7$ बटे $x$ अचर है, $7$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 2}$ का समाकलन $- x^{- 1}$ है.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

चरण 2.3.4

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

चरण 2.3.5

$x$ के संबंध में $x^{- 1}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 3 d x$

चरण 2.3.6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) - 3 x + C_{4}$

चरण 2.3.7

सरल करें.

$y + C_{1} = - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) - 3 x + C_{5}$

चरण 2.3.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{1} = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C_{5}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$

चरण 3

$x$ के लिए $1$ और $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ में $y$ के लिए $6$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$6 = - 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$

चरण 4

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

चरण 4.2

$- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$- 3 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

चरण 4.2.1.2

$7$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 3 - 1 \cdot 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

चरण 4.2.1.3

$- 1$ को $7$ से गुणा करें.

$- 3 - 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

चरण 4.2.1.4

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$- 3 - 7 + 4 \ln (1) + C = 6$

चरण 4.2.1.5

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$- 3 - 7 + 4 \cdot 0 + C = 6$

चरण 4.2.1.6

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$- 3 - 7 + 0 + C = 6$

चरण 4.2.2

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$- 3 - 7$ और $0$ जोड़ें.

$- 3 - 7 + C = 6$

चरण 4.2.2.2

$- 3$ में से $7$ घटाएं.

$- 10 + C = 6$

चरण 4.3

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $10$ जोड़ें.

$C = 6 + 10$

चरण 4.3.2

$6$ और $10$ जोड़ें.

$C = 16$

चरण 5

$16$ को $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$16$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + 16$

चरण 5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$4$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $4 \ln (| x |)$ को सरल करें.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln ({| x |}^{4}) + 16$

चरण 5.2.2

${| x |}^{4}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln (x^{4}) + 16$