कैलकुलस उदाहरण

$(15 x^{2} y^{2} - y^{4}) d x + (10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2} - y^{4}]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $15 x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $15 x^{2} y^{2}$ का व्युत्पन्न $15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

चरण 1.3.3

$2$ को $15$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d y} [- y^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y^{4}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y^{4}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - \frac{d}{d y} [y^{4}]$

चरण 1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - (4 y^{3})$

चरण 1.4.3

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - 4 y^{3}$

चरण 1.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [10 x^{3} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $10 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $10 x^{3} y$ का व्युत्पन्न $10 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

चरण 2.3.3

$3$ को $10$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $- 4 y^{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x y^{3}$ का व्युत्पन्न $- 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

चरण 2.4.3

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 5 y^{4}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 y^{4}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + 0$

चरण 2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$30 y x^{2} - 4 y^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3}$

चरण 2.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ प्रतिस्थापित करें.

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} - y^{4} d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} d x + \int - y^{4} d x$

चरण 5.2

चूँकि $15 y^{2}$ बटे $x$ अचर है, $15 y^{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 15 y^{2} \int x^{2} d x + \int - y^{4} d x$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y^{4} d x$

चरण 5.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{4} x + C$

चरण 5.5

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - y^{4} x + C$

चरण 5.6

सरल करें.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $5 x^{3}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $5 y^{2} x^{3}$ का व्युत्पन्न $5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

चरण 8.3.2

$5 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

चरण 8.3.3

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$10 x^{3} y + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

चरण 8.4

$\frac{d}{d y} [- y^{4} x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

चूंकि $- x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y^{4} x$ का व्युत्पन्न $- x \frac{d}{d y} [y^{4}]$ है.

$10 x^{3} y - x \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

चरण 8.4.2

$10 x^{3} y - x (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

चरण 8.4.3

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

चरण 8.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 10 x^{3} y - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $10 x^{3} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4 y^{3} x$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$

चरण 9.1.3

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$10 x^{3} y$ में से $10 x^{3} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 0 + 4 y^{3} x$

चरण 9.1.3.2

$- 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

चरण 9.1.3.3

गुणनखंडों को $- 4 x y^{3}$ और $4 y^{3} x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d y} = - 4 y^{3} x - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

चरण 9.1.3.4

$- 4 y^{3} x$ और $4 y^{3} x$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4} + 0$

चरण 9.1.3.5

$- 5 y^{4}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $- 5 y^{4}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 5 y^{4} d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - 5 y^{4} d y$

चरण 10.3

चूँकि $- 5$ बटे $y$ अचर है, $- 5$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - 5 \int y^{4} d y$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} y^{5}$ है.

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$

चरण 10.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$- 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$ को $- 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$

चरण 10.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$- 5$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$g (y) = \frac{- 5}{5} y^{5} + C$

चरण 10.5.2.2

$- 5$ और $5$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.1

$- 5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5} y^{5} + C$

चरण 10.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.2.1

$5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} y^{5} + C$

चरण 10.5.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} y^{5} + C$

चरण 10.5.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{5} + C$

चरण 10.5.2.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$g (y) = - y^{5} + C$

चरण 11

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x - y^{5} + C$