कैलकुलस उदाहरण

$e^{- y} d x + (1 - x e^{- y}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = e^{- y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]$

चरण 1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{u} \frac{d}{d y} [- y]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- y$ से बदलें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- 1 \cdot 1)$

चरण 1.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \cdot - 1$

चरण 1.3.3.2

$- 1$ को $e^{- y}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot e^{- y}$

चरण 1.3.3.3

$- 1 e^{- y}$ को $- e^{- y}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{- y}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 1 - x e^{- y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 - x e^{- y}]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x e^{- y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

चरण 2.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- e^{- y}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x e^{- y}$ का व्युत्पन्न $- e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \cdot 1$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y}$

चरण 2.4

$0$ में से $e^{- y}$ घटाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{- y}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- e^{- y}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- e^{- y}$ प्रतिस्थापित करें.

$- e^{- y} = - e^{- y}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$- e^{- y} = - e^{- y}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int e^{- y} d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = e^{- y}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = e^{- y} x + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - x e^{- y}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x + g (y)] = 1 - x e^{- y}$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $e^{- y} x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $e^{- y} x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ है.

$x \frac{d}{d y} [e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

चरण 8.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- y$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

चरण 8.3.2.2

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

चरण 8.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- y$ से बदलें.

$x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

चरण 8.3.3

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y]$ है.

$x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

चरण 8.3.4

$x (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

चरण 8.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x (e^{- y} \cdot - 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

चरण 8.3.6

$- 1$ को $e^{- y}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x (- 1 \cdot e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

चरण 8.3.7

$- 1 e^{- y}$ को $- e^{- y}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (- e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x (- e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y}$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x = 1 - x e^{- y}$

चरण 8.5.2

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d y} - x e^{- y} = 1 - x e^{- y}$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $x e^{- y}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y} + x e^{- y}$

चरण 9.1.2

$1 - x e^{- y} + x e^{- y}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$- x e^{- y}$ और $x e^{- y}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 1 + 0$

चरण 9.1.2.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 1$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $1$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = 1$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int d y$

चरण 10.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (y) = y + C$

चरण 11

$f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = e^{- y} x + y + C$

चरण 12

गुणनखंडों को $f (x, y) = e^{- y} x + y + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = x e^{- y} + y + C$