कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 3$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = (7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.2

चूँकि $7$ बटे $x$ अचर है, $7$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 2}$ का समाकलन $- x^{- 1}$ है.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.4

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.5

$x$ के संबंध में $x^{- 1}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

चरण 2.3.6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

चरण 2.3.7

सरल करें.

$y + C_{1} = - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) - x + C_{5}$

चरण 2.3.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{1} = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$

चरण 3

$x$ के लिए $1$ और $y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$ में $y$ के लिए $3$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$3 = - 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C$

चरण 4

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

चरण 4.2

$- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$7$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1 - 1 \cdot 7 + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

चरण 4.2.1.2

$- 1$ को $7$ से गुणा करें.

$- 1 - 7 + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

चरण 4.2.1.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$- 1 - 7 + 5 \ln (1) + C = 3$

चरण 4.2.1.4

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$- 1 - 7 + 5 \cdot 0 + C = 3$

चरण 4.2.1.5

$5$ को $0$ से गुणा करें.

$- 1 - 7 + 0 + C = 3$

चरण 4.2.2

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$- 1 - 7$ और $0$ जोड़ें.

$- 1 - 7 + C = 3$

चरण 4.2.2.2

$- 1$ में से $7$ घटाएं.

$- 8 + C = 3$

चरण 4.3

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$C = 3 + 8$

चरण 4.3.2

$3$ और $8$ जोड़ें.

$C = 11$

चरण 5

$11$ को $y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$11$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + 11$

चरण 5.2

$5$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $5 \ln (| x |)$ को सरल करें.

$y = - x - \frac{7}{x} + \ln ({| x |}^{5}) + 11$