कैलकुलस उदाहरण

$(2 x e^{3 y} + e^{x}) d x + (3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y} + e^{x}]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x e^{3 y} + e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x e^{3 y}$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

चरण 1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = 3 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

चरण 1.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

चरण 1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 y$ से बदलें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

चरण 1.3.3

चूंकि $3$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 y$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

चरण 1.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

चरण 1.3.6

$3$ को $e^{3 y}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

चरण 1.3.7

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

चरण 1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $e^{x}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $e^{x}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + 0$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$6 x e^{3 y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

चरण 1.5.2

$6 x e^{3 y}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 e^{3 y} x$

चरण 1.5.3

गुणनखंडों को $6 e^{3 y} x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $3 e^{3 y}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2} e^{3 y}$ का व्युत्पन्न $3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

चरण 2.3.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + 0$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$6 e^{3 y} x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x$

चरण 2.5.2

गुणनखंडों को $6 e^{3 y} x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x e^{3 y}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $6 x e^{3 y}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $6 x e^{3 y}$ प्रतिस्थापित करें.

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} + e^{x} d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} d x + \int e^{x} d x$

चरण 5.2

चूँकि $2 e^{3 y}$ बटे $x$ अचर है, $2 e^{3 y}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 2 e^{3 y} \int x d x + \int e^{x} d x$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{x} d x$

चरण 5.4

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + e^{x} + C$

चरण 5.5

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{x^{2}}{2} + C) + e^{x} + C$

चरण 5.6

सरल करें.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $e^{3 y} x^{2}$ का व्युत्पन्न $x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ है.

$x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 y$ के रूप में सेट करें.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8.3.2.2

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 y$ से बदलें.

$x^{2} (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8.3.3

चूंकि $3$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 y$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$x^{2} (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8.3.4

$x^{2} (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8.3.6

$3$ को $e^{3 y}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8.3.7

$3$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8.4

चूंकि $y$ के संबंध में $e^{x}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $e^{x}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1

$3 x^{2} e^{3 y}$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 8.6.3

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} e^{3 y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x^{2} e^{3 y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$

चरण 9.1.2

$3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$3 x^{2} e^{3 y}$ में से $3 x^{2} e^{3 y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} + 0$

चरण 9.1.2.2

$- y^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2}$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $- y^{2}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = - y^{2}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - y^{2} d y$

चरण 10.3

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - \int y^{2} d y$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} y^{3}$ है.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

चरण 10.5

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ को $- \frac{1}{3} y^{3} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 11

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 12

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$y^{3}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$

चरण 12.2

गुणनखंडों को $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = x^{2} e^{3 y} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$