कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - y}{y + 1}$ , $y (3) = 1$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{2} y - y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

$x^{2} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - y}{y + 1}$

चरण 1.1.1.2

$- y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 1}{y + 1}$

चरण 1.1.1.3

$y x^{2} + y \cdot - 1$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1)}{y + 1}$

चरण 1.1.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1^{2})}{y + 1}$

चरण 1.1.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 1) (x - 1))}{y + 1}$

चरण 1.1.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1) (x - 1)}{y + 1}$

चरण 1.2

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1}$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{y + 1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1})$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 1) (x - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x (x - 1) + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

चरण 1.4.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

चरण 1.4.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

चरण 1.4.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

चरण 1.4.2.1.2

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

चरण 1.4.2.1.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

चरण 1.4.2.1.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

चरण 1.4.2.1.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x - 1) \frac{y}{y + 1})$

चरण 1.4.2.2

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + 0 - 1) \frac{y}{y + 1})$

चरण 1.4.2.3

$x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1) \frac{y}{y + 1})$

चरण 1.4.3

$x^{2} - 1$ को $\frac{y}{y + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

चरण 1.4.4

$y + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

चरण 1.4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} ((x^{2} - 1) y)$

चरण 1.4.5

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.5.1

$(x^{2} - 1) y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

चरण 1.4.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

चरण 1.4.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{y + 1}{y} d y = (x^{2} - 1) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.5

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6

सरल करें.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

चरण 2.3.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

चरण 2.3.4

सरल करें.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

चरण 3

$x$ के लिए $3$ और $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 + \ln (| 1 |) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$

चरण 4

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

चरण 4.2

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$3^{3}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

चरण 4.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

चरण 4.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

चरण 4.2.1.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$9 - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

चरण 4.2.1.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$9 - 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

चरण 4.2.2

$9$ में से $3$ घटाएं.

$6 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

चरण 4.3

$1 + \ln (| 1 |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$6 + C = 1 + \ln (1)$

चरण 4.3.1.2

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$6 + C = 1 + 0$

चरण 4.3.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$6 + C = 1$

चरण 4.4

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$C = 1 - 6$

चरण 4.4.2

$1$ में से $6$ घटाएं.

$C = - 5$

चरण 5

$- 5$ को $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 5$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 5$

चरण 5.2

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$y + \ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3} - x - 5$