कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} = - 2 t y + 4 e^{- t^{2}}$ , $y (0) = 3$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 t y$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d t} + 2 t y = 4 e^{- t^{2}}$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (t) d t}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (t) = 2 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int 2 t d t}$

चरण 2.2

$2 t$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 \int t d t}$

चरण 2.2.2

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t$ का समाकलन $\frac{1}{2} t^{2}$ है.

$e^{2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

चरण 2.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ को $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

चरण 2.2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

चरण 2.2.3.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

चरण 2.2.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{1 t^{2} + C}$

चरण 2.2.3.2.3

$t^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{t^{2} + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{t^{2}}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{t^{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{t^{2}}$ से गुणा करें.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{t^{2}} (2 t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

चरण 3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{t^{2}} e^{- t^{2}}$

चरण 3.4

घातांक जोड़कर $e^{t^{2}}$ को $e^{- t^{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$e^{- t^{2}}$ ले जाएं.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 (e^{- t^{2}} e^{t^{2}})$

चरण 3.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{- t^{2} + t^{2}}$

चरण 3.4.3

$- t^{2}$ और $t^{2}$ जोड़ें.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{0}$

चरण 3.5

$4 e^{0}$ को सरल करें.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$

चरण 3.6

गुणनखंडों को $e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 t y e^{t^{2}} = 4$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] = 4$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] d t = \int 4 d t$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{t^{2}} y = \int 4 d t$

चरण 7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$

चरण 8

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$ के प्रत्येक पद को $e^{t^{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$ के प्रत्येक पद को $e^{t^{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{t^{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

चरण 9

$t$ के लिए $0$ और $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ में $y$ के लिए $3$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$3 = \frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

चरण 10

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

समीकरण को $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

चरण 10.2

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4 \cdot 0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

चरण 10.2.1.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.2.1

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

चरण 10.2.1.2.2

$0$ और $C$ जोड़ें.

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

चरण 10.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{C}{e^{0}} = 3$

चरण 10.2.2.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{C}{1} = 3$

चरण 10.2.3

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = 3$

चरण 11

$3$ को $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$3$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{3}{e^{t^{2}}}$