कैलकुलस उदाहरण

$x y \frac{d y}{d x} + 3 = 0$ , $f (2) = 1$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{d y}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$

चरण 1.1.2

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$ के प्रत्येक पद को $x y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$ के प्रत्येक पद को $x y$ से विभाजित करें.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

चरण 1.1.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

चरण 1.1.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

चरण 1.1.2.2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

चरण 1.1.2.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3}{x y}$

चरण 1.1.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x y}$

चरण 1.2

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करें.

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

चरण 1.4.2

$\frac{3}{x}$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{3}{x y}$

चरण 1.4.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$- y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{x y}$

चरण 1.4.3.2

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

चरण 1.4.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

चरण 1.4.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x}$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$y d y = - \frac{3}{x} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y d y = \int - \frac{3}{x} d x$

चरण 2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

चरण 2.3.2

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

चरण 2.3.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.3.4

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} = - 3 \ln (| x |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 (- 3 \ln (| x |) + C)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |)) + 2 C$

चरण 3.2.2.1.2

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$y^{2} = - 6 \ln (| x |) + 2 C$

चरण 3.3

$6$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 6 \ln (| x |)$ को सरल करें.

$y^{2} = - \ln ({| x |}^{6}) + 2 C$

चरण 3.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{6}) + 2 C}$

चरण 3.5

${| x |}^{6}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$y = \pm \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

चरण 3.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

चरण 3.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

चरण 3.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

चरण 5

चूँकि $y$ प्रारंभिक स्थिति $(2, 1)$ में धनात्मक है, $C$ ज्ञात करने के लिए केवल $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ पर विचार करें. $x$ के लिए $2$ और $y$ के लिए $1$ प्रतिस्थापित करें.

$1 = \sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$

चरण 6

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$

चरण 6.2

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}}^{2} = 1^{2}$

चरण 6.3

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$ को ${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

चरण 6.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

घातांक को ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

चरण 6.3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

चरण 6.3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{1} = 1^{2}$

चरण 6.3.2.1.2

$2$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

${(- \ln (64) + C)}^{1} = 1^{2}$

चरण 6.3.2.1.3

सरल करें.

$- \ln (64) + C = 1^{2}$

चरण 6.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \ln (64) + C = 1$

चरण 6.4

समीकरण के दोनों पक्षों में $\ln (64)$ जोड़ें.

$C = 1 + \ln (64)$

चरण 7

$1 + \ln (64)$ को $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1 + \ln (64)$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 1 + \ln (64)}$