कैलकुलस उदाहरण

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ घटाएं.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

चरण 1.2

फिर से लिखें.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

चरण 2.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

चरण 2.3

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y \ln (\frac{x}{y})$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

चरण 2.4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = y$ और $g (y) = \ln (\frac{x}{y})$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = \ln (y)$ और $g (y) = \frac{x}{y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{y}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.5.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.5.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{y}$ से बदलें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.6

$\frac{x}{y}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.7

$\frac{y}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.8

$\frac{y}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.9

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.10

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.13

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{x}{y}$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.14

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.14.1

$x$ और $\frac{y^{2}}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.14.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.14.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.14.2.2

$y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.14.3

$\frac{1}{y}$ को $y^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.15

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.16

घातांक जोड़कर $y^{2}$ को $y^{- 2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.16.1

$y^{- 2}$ ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.16.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.16.3

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.17

$y^{0} \cdot - 1$ को सरल करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.18

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

चरण 2.19

$\ln (\frac{x}{y})$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

चरण 2.20

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.20.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

चरण 2.20.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $1 - \ln (\frac{x}{y})$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $1$ प्रतिस्थापित करें.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

चरण 4.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 5

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$1$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 5.2

$1 - \ln (\frac{x}{y})$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

चरण 5.3

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

चरण 5.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

चरण 5.3.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

चरण 5.3.2.3

$- - \ln (\frac{x}{y})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

चरण 5.3.2.3.2

$\ln (\frac{x}{y})$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

चरण 5.3.2.4

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

चरण 5.3.2.5

$0$ और $\ln (\frac{x}{y})$ जोड़ें.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

चरण 5.3.3

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

चरण 5.3.4

$\ln (\frac{x}{y})$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

चरण 5.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{- y}$

चरण 5.3.5

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.1

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

चरण 5.3.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{y}$

चरण 5.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

चरण 6

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

चरण 6.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

चरण 6.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

चरण 6.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (| y |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

चरण 6.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

चरण 6.4.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

चरण 7

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

चरण 7.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

चरण 7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

चरण 7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

चरण 7.3

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

चरण 7.4

$- 1 \ln (\frac{x}{y})$ को $- \ln (\frac{x}{y})$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

चरण 7.5

$x$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

चरण 7.6

$x$ और $\frac{1}{y}$ को मिलाएं.

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

चरण 8

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

चरण 9

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = \frac{x}{y}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

चूँकि $x$ बटे $y$ अचर है, $x$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

चरण 9.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

चरण 9.3

सरल करें.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

चरण 10

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

चरण 12

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + g (x)] = - \ln (\frac{x}{y})$

चरण 13

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

फिर से लिखें.

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

चरण 13.1.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ घटाएं.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

चरण 13.1.2.2

फिर से लिखें.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

चरण 13.1.3

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.3.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

चरण 13.1.3.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

चरण 13.1.3.3

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

चरण 13.1.3.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.5

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.3.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{y}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.5.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.5.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{y}$ से बदलें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.6

$\frac{x}{y}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.7

$\frac{y}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.8

$\frac{y}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.9

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.10

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.13

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.14

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.3.14.1

$x$ और $\frac{y^{2}}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.14.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.3.14.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.14.2.2

$y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.14.3

$\frac{1}{y}$ को $y^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.15

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.16

घातांक जोड़कर $y^{2}$ को $y^{- 2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.3.16.1

$y^{- 2}$ ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.16.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.16.3

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.17

$y^{0} \cdot - 1$ को सरल करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 13.1.3.18

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

चरण 13.1.3.19

$\ln (\frac{x}{y})$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

चरण 13.1.3.20

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.3.20.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

चरण 13.1.3.20.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

चरण 13.1.4

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.4.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

चरण 13.1.4.2

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

चरण 13.1.5

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.5.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $1 - \ln (\frac{x}{y})$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $1$ प्रतिस्थापित करें.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

चरण 13.1.5.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 13.1.6

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.6.1

$1$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 13.1.6.2

$1 - \ln (\frac{x}{y})$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

चरण 13.1.6.3

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.6.3.1

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

चरण 13.1.6.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.6.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

चरण 13.1.6.3.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

चरण 13.1.6.3.2.3

$- - \ln (\frac{x}{y})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.6.3.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

चरण 13.1.6.3.2.3.2

$\ln (\frac{x}{y})$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

चरण 13.1.6.3.2.4

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

चरण 13.1.6.3.2.5

$0$ और $\ln (\frac{x}{y})$ जोड़ें.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

चरण 13.1.6.3.3

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

चरण 13.1.6.3.4

$\ln (\frac{x}{y})$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.6.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

चरण 13.1.6.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{- y}$

चरण 13.1.6.3.5

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.6.3.5.1

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

चरण 13.1.6.3.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{y}$

चरण 13.1.6.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

चरण 13.1.7

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.7.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

चरण 13.1.7.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

चरण 13.1.7.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

चरण 13.1.7.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.7.4.1

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (| y |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

चरण 13.1.7.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

चरण 13.1.7.4.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

चरण 13.1.8

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.8.1

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

चरण 13.1.8.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.8.2.1

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

चरण 13.1.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

चरण 13.1.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

चरण 13.1.8.3

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

चरण 13.1.8.4

$- 1 \ln (\frac{x}{y})$ को $- \ln (\frac{x}{y})$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

चरण 13.1.8.5

$x$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

चरण 13.1.8.6

$x$ और $\frac{1}{y}$ को मिलाएं.

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

चरण 13.1.9

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

चरण 13.1.10

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = \frac{x}{y}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.10.1

चूँकि $x$ बटे $y$ अचर है, $x$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

चरण 13.1.10.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

चरण 13.1.10.3

सरल करें.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

चरण 13.1.11

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

चरण 13.1.12

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

चरण 13.1.13

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.13.1

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.13.1.1

$d$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.13.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

चरण 13.1.13.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

चरण 13.1.13.1.2

$\frac{1}{x}$ को $x \ln (| y |) + g x$ से गुणा करें.

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

चरण 13.1.13.1.3

$x \ln (| y |) + g x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.13.1.3.1

$x \ln (| y |)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

चरण 13.1.13.1.3.2

$g x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \ln (| y |) + x g}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

चरण 13.1.13.1.3.3

$x \ln (| y |) + x g$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

चरण 13.1.13.1.4

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.13.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

चरण 13.1.13.1.4.2

$\ln (| y |) + g$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y |) + g = - \ln (\frac{x}{y})$

चरण 13.1.14

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) + \ln (\frac{x}{y}) = - g$

चरण 13.1.15

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| y | (\frac{x}{y})) = - g$

चरण 13.1.16

$| y |$ और $\frac{x}{y}$ को मिलाएं.

$\ln (\frac{| y | x}{y}) = - g$

चरण 13.1.17

गुणनखंडों को $\ln (\frac{| y | x}{y})$ में पुन: क्रमित करें.

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$

चरण 14

$g (x)$ को खोजने के लिए $- g$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x = \int - g d x$

चरण 14.2

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int - g d x$

चरण 14.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (x) = - g x + C$

चरण 15

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x \ln (| y |) - g x + C$