कैलकुलस उदाहरण

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ , $y (1) = 0$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

चरण 1.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

चरण 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

चरण 1.3

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$4 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x}$

चरण 1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x^{1}}$

चरण 1.3.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

चरण 1.3.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

चरण 1.3.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x}{1}$

चरण 1.3.2.5

$4 x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 4 x$

चरण 1.4

$\frac{2 y}{x}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = 4 x$

चरण 1.5

$y$ और $\frac{2}{x}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 4 x$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = \frac{2}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

चरण 2.2

$\frac{2}{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

चरण 2.2.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

चरण 2.2.3

सरल करें.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{2 \ln (x)}$

चरण 2.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln (x^{2})}$

चरण 2.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$x^{2}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $x^{2}$ से गुणा करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (4 x)$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{2}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

चरण 3.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

चरण 3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

चरण 3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (4 x)$

चरण 3.2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (4 x)$

चरण 3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{2} x$

चरण 3.4

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$x$ ले जाएं.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x \cdot x^{2})$

चरण 3.4.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x^{1} x^{2})$

चरण 3.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{1 + 2}$

चरण 3.4.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{3}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 4 x^{3}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 4 x^{3} d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x^{2} y = \int 4 x^{3} d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$x^{2} y = 4 \int x^{3} d x$

चरण 7.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

चरण 7.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ को $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

चरण 7.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$4$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

चरण 7.3.2.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

चरण 7.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} y = 1 x^{4} + C$

चरण 7.3.2.3

$x^{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} y = x^{4} + C$

चरण 8

$x^{2} y = x^{4} + C$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$x^{2} y = x^{4} + C$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$x^{4}$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$x^{4}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8.3.1.2.4

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 9

$x$ के लिए $1$ और $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ में $y$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$0 = 1^{2} + \frac{C}{1^{2}}$

चरण 10

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

समीकरण को $1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$

चरण 10.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$1 + \frac{C}{1^{2}} = 0$

चरण 10.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$1 + \frac{C}{1} = 0$

चरण 10.2.3

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$1 + C = 0$

चरण 10.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$C = - 1$

चरण 11

$- 1$ को $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$- 1$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = x^{2} + \frac{- 1}{x^{2}}$

चरण 11.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$