कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}}$ , $y (0) = 0$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 4 \int x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = x^{2} + 8$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = x^{2} + 8$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$x^{2} + 8$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

चरण 2.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

चरण 2.3.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [8]$

चरण 2.3.2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 2.3.2.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$u^{- \frac{1}{3}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{u^{- \frac{1}{3}}}{2} d u$

चरण 2.3.3.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $u^{- \frac{1}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{3}}} d u$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u)$

चरण 2.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.1

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

चरण 2.3.5.1.2

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

चरण 2.3.5.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

चरण 2.3.5.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

चरण 2.3.5.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

चरण 2.3.5.1.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

चरण 2.3.5.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

$u^{\frac{1}{3}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$y + C_{1} = 2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

चरण 2.3.5.2.2

घातांक को ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

चरण 2.3.5.2.2.2

$\frac{1}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

चरण 2.3.5.2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = 2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

चरण 2.3.6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{3}}$ का समाकलन $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ है.

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$

चरण 2.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$ को $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1

$2$ और $\frac{3}{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.3.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.3.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3.2.4

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$y + C_{1} = 3 u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

चरण 2.3.8

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 8$ से बदलें.

$y + C_{1} = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

चरण 3

$x$ के लिए $0$ और $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ में $y$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$0 = 3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

चरण 4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$3 {(0 + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

चरण 4.2.2

$0$ और $8$ जोड़ें.

$3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + K = 0$

चरण 4.2.3

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

चरण 4.2.4

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

चरण 4.2.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

चरण 4.2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 \cdot 2^{2} + K = 0$

चरण 4.2.6

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \cdot 4 + K = 0$

चरण 4.2.7

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$12 + K = 0$

चरण 4.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $12$ घटाएं.

$K = - 12$

चरण 5

$- 12$ को $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 12$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} - 12$