कैलकुलस उदाहरण

$(3 x + 2 y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 3 x + 2 y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x + 2 y^{2}]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 x + 2 y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $3 x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 (2 y)$

चरण 1.3.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 y$

चरण 1.4

$0$ और $4 y$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 2 x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

चरण 2.2

चूंकि $2 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

चरण 2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $4 y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 y$ प्रतिस्थापित करें.

$4 y = 2 y$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$4 y = 2 y$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$4 y$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$2 y$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 y - (2 y)}{N}$

चरण 4.3

$2 x y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$2 x y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 y - (2 y)}{2 x y}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$4 y - 1 \cdot 2 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$4 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot 4 - 1 \cdot 2 y}{2 x y}$

चरण 4.3.2.1.2

$- 1 \cdot 2 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot 4 + y (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

चरण 4.3.2.1.3

$y \cdot 4 + y (- 1 \cdot 2)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (4 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

चरण 4.3.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{y (4 - 2)}{2 x y}$

चरण 4.3.2.3

$4$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{y \cdot 2}{2 x y}$

चरण 4.3.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y \cdot 2}{2 x y}$

चरण 4.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{2 x}$

चरण 4.3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2 x}$

चरण 4.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

चरण 5.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

चरण 5.2.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = | x | + C$

चरण 6

$(3 x + 2 y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$3 x + 2 y^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

$(3 x + 2 y^{2}) x d x + 2 x y d y = 0$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(3 x \cdot x + 2 y^{2} x) d x + 2 x y d y = 0$

चरण 6.3

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$x$ ले जाएं.

$(3 (x \cdot x) + 2 y^{2} x) d x + 2 x y d y = 0$

चरण 6.3.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} + 2 y^{2} x) d x + 2 x y d y = 0$

चरण 6.4

$2 x y$ को $x$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} + 2 y^{2} x) d x + 2 x y x d y = 0$

चरण 6.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$x$ ले जाएं.

$(3 x^{2} + 2 y^{2} x) d x + 2 (x \cdot x) y d y = 0$

चरण 6.5.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} + 2 y^{2} x) d x + 2 x^{2} y d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = 2 x^{2} y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चूँकि $2 x^{2}$ बटे $y$ अचर है, $2 x^{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 2 x^{2} \int y d y$

चरण 8.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 8.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ को $2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = 2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 8.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x^{2} \frac{2}{2} y^{2} + C$

चरण 8.3.2.2

$x^{2}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 2}{2} y^{2} + C$

चरण 8.3.2.3

$2$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot x^{2}}{2} y^{2} + C$

चरण 8.3.2.4

$2$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

चरण 8.3.2.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

चरण 8.3.2.5.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} y^{2} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $y^{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x^{2} y^{2}$ का व्युत्पन्न $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

चरण 11.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

चरण 11.3.3

$2$ को $y^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$2 y^{2} x + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y^{2} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y^{2} x$

चरण 12.1.2

$3 x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y^{2} x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

$2 y^{2} x$ में से $2 y^{2} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

चरण 12.1.2.2

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $3 x^{2}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

चरण 13.3

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

चरण 13.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

चरण 13.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ को $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

चरण 13.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.2.1

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

चरण 13.5.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

चरण 13.5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

चरण 13.5.2.3

$x^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$g (x) = x^{3} + C$

चरण 14

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{3} + C$