कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} + 2 y = 1$ , $y (0) = \frac{2}{5}$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (t) d t}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (t) = 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int 2 d t}$

चरण 1.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{2 t + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{2 t}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{2 t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $e^{2 t}$ से गुणा करें.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} \cdot 1$

चरण 2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} \cdot 1$

चरण 2.3

$e^{2 t}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$

चरण 2.4

गुणनखंडों को $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{2 t}$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{2 t}$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{2 t} d t$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{2 t} y = \int e^{2 t} d t$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लीजिए $u = 2 t$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

मान लें $u = 2 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 6.1.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 6.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 6.1.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 6.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 6.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 6.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

चरण 6.4

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

चरण 6.5

सरल करें.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

चरण 6.6

$u$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$

चरण 7

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{2 t}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{2 t}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{2 t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$e^{2 t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

चरण 7.3.1.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$

चरण 8

$t$ के लिए $0$ और $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ में $y$ के लिए $\frac{2}{5}$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$\frac{2}{5} = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

चरण 9

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

समीकरण को $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$

चरण 9.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{2}{5}$

चरण 9.2.1.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

चरण 9.2.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} + C = \frac{2}{5}$

चरण 9.3

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{1}{2}$ घटाएं.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$

चरण 9.3.2

$\frac{2}{5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 9.3.3

$- \frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

चरण 9.3.4

प्रत्येक व्यंजक को $10$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.4.1

$\frac{2}{5}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$C = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

चरण 9.3.4.2

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

चरण 9.3.4.3

$\frac{1}{2}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{2 \cdot 5}$

चरण 9.3.4.4

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{10}$

चरण 9.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 5}{10}$

चरण 9.3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.6.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$C = \frac{4 - 5}{10}$

चरण 9.3.6.2

$4$ में से $5$ घटाएं.

$C = \frac{- 1}{10}$

चरण 9.3.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$C = - \frac{1}{10}$

चरण 10

$- \frac{1}{10}$ को $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$- \frac{1}{10}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{1}{2} + \frac{- \frac{1}{10}}{e^{2 t}}$

चरण 10.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

चरण 10.2.2

$\frac{1}{e^{2 t}}$ को $\frac{1}{10}$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{e^{2 t} \cdot 10}$

चरण 10.2.3

$10$ को $e^{2 t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10 e^{2 t}}$