कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1$ , $y (1) = 2$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = (2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

चरण 2.3.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 2 \int x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

चरण 2.3.4

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

चरण 2.3.5

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \int \frac{x}{2} d x + \int d x$

चरण 2.3.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - (\frac{1}{2} \int x d x) + \int d x$

चरण 2.3.7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int d x$

चरण 2.3.8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + x + C_{4}$

चरण 2.3.9

सरल करें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + C_{5}$

चरण 2.3.10

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + C_{5}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$

चरण 3

$x$ के लिए $1$ और $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ में $y$ के लिए $2$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$2 = \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

चरण 4.2

$\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

चरण 4.2.1.2

$\frac{2}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

चरण 4.2.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1 + 1 + K = 2$

चरण 4.2.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

चरण 4.2.2

$\frac{2}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

चरण 4.2.3

$- \frac{1}{4}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

चरण 4.2.4

प्रत्येक व्यंजक को $12$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

$\frac{2}{3}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

चरण 4.2.4.2

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

चरण 4.2.4.3

$\frac{1}{4}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + 1 + K = 2$

चरण 4.2.4.4

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{12} + 1 + K = 2$

चरण 4.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 \cdot 4 - 3}{12} + 1 + K = 2$

चरण 4.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.1

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{8 - 3}{12} + 1 + K = 2$

चरण 4.2.6.2

$8$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{5}{12} + 1 + K = 2$

चरण 4.2.7

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{5}{12} + \frac{12}{12} + K = 2$

चरण 4.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{5 + 12}{12} + K = 2$

चरण 4.2.9

$5$ और $12$ जोड़ें.

$\frac{17}{12} + K = 2$

चरण 4.3

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{17}{12}$ घटाएं.

$K = 2 - \frac{17}{12}$

चरण 4.3.2

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{12}{12}$ से गुणा करें.

$K = 2 \cdot \frac{12}{12} - \frac{17}{12}$

चरण 4.3.3

$2$ और $\frac{12}{12}$ को मिलाएं.

$K = \frac{2 \cdot 12}{12} - \frac{17}{12}$

चरण 4.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$K = \frac{2 \cdot 12 - 17}{12}$

चरण 4.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$2$ को $12$ से गुणा करें.

$K = \frac{24 - 17}{12}$

चरण 4.3.5.2

$24$ में से $17$ घटाएं.

$K = \frac{7}{12}$

चरण 5

$\frac{7}{12}$ को $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{7}{12}$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

चरण 5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\frac{2}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

चरण 5.2.2

$x^{2}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + \frac{7}{12}$