कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2}$ , $y (1) = \frac{2}{5}$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = \frac{2}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

चरण 1.2

$\frac{2}{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

चरण 1.2.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

चरण 1.2.3

सरल करें.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{2 \ln (x)}$

चरण 1.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln (x^{2})}$

चरण 1.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$x^{2}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $x^{2}$ से गुणा करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2}$

चरण 2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{2}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

चरण 2.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

चरण 2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

चरण 2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2}$

चरण 2.2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2}$

चरण 2.3

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2}$

चरण 2.3.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4}$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4}$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x^{2} y = \int x^{4} d x$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} x^{5}$ है.

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$

चरण 7

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$x^{5}$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.1

$\frac{1}{5} x^{5}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 7.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 7.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 7.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 7.3.1.1.2.4

$\frac{1}{5} x^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 7.3.1.2

$\frac{1}{5}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8

$x$ के लिए $1$ और $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ में $y$ के लिए $\frac{2}{5}$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$\frac{2}{5} = \frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}}$

चरण 9

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

समीकरण को $\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

चरण 9.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

चरण 9.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

चरण 9.2.3

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{5} + C = \frac{2}{5}$

चरण 9.3

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{1}{5}$ घटाएं.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}$

चरण 9.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$C = \frac{2 - 1}{5}$

चरण 9.3.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$C = \frac{1}{5}$

चरण 10

$\frac{1}{5}$ को $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{5}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{x^{2}}$

चरण 10.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

चरण 10.2.2

जोड़ना.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 x^{2}}$

चरण 10.2.3

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5 x^{2}}$