कैलकुलस उदाहरण

$(2 y + t) d y + y d t = 0$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

फिर से लिखें.

$y d t + (2 y + t) d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 2 y + t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + t]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 y + t$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $2 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [t]$

चरण 3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $t$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $t$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

चरण 3.5

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $1$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $0$ प्रतिस्थापित करें.

$1 = 0$

चरण 4.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$1 = 0$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 5

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$0$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 5.2

$1$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - 1}{M}$

चरण 5.3

$y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - 1}{y}$

चरण 5.3.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{- 1}{y}$

चरण 5.3.3

$y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{1}{y}$

चरण 5.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

चरण 6

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

चरण 6.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

चरण 6.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

चरण 6.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (| y |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

चरण 6.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

चरण 6.4.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

चरण 7

$y d t + (2 y + t) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$y$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

चरण 7.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

चरण 7.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 d t + (2 y + t) d y = 0$

चरण 7.3

$2 y + t$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$1 d t + (2 y + t) \frac{1}{y} d y = 0$

चरण 7.4

$2 y + t$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$1 d t + \frac{2 y + t}{y} d y = 0$

चरण 8

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int d x$

चरण 9

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 1$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = x + C$

चरण 10

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x + g (y)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y + t}{y}$

चरण 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

चरण 12.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

चरण 12.3

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

चरण 12.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

चरण 12.5

$0$ और $\frac{d g}{d y}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $\frac{2 y + t}{y}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

चरण 13.3

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} + \frac{t}{y} d y$

चरण 13.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

चरण 13.5

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

चरण 13.5.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$g (y) = \int 2 d y + \int \frac{t}{y} d y$

चरण 13.6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (y) = 2 y + C + \int \frac{t}{y} d y$

चरण 13.7

चूँकि $t$ बटे $y$ अचर है, $t$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 2 y + C + t \int \frac{1}{y} d y$

चरण 13.8

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$g (y) = 2 y + C + t (\ln (| y |) + C)$

चरण 13.9

सरल करें.

$g (y) = 2 y + t \ln (| y |) + C$

चरण 14

$f (x, y) = x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x + 2 y + t \ln (| y |) + C$