कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 2 e^{x - y}$ , $y (0) = \ln (8)$

चरण 1

मान लीजिए $v = e^{x - y}$ . $e^{x - y}$ की सभी घटनाओं के लिए $v$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d y}{d x} = 2 v$

चरण 2

$e^{x - y}$ को अलग करके $\frac{d v}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x - y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 2.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x - y$ से बदलें.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ है.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

चरण 2.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

चरण 3

$v$ को $e^{x - y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

चरण 4

व्युत्पन्न को डिफरेन्शल इक्वेश़न में वापस प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = 2 v$

चरण 5

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{d v}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 v - 1$

चरण 5.1.2

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 v - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 v - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{2 v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

चरण 5.1.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{2 v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

चरण 5.1.2.2.2

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{2 v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

चरण 5.1.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.3.1.1

ऋणात्मक को $\frac{2 v}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 \cdot (2 v) + \frac{- 1}{- 1}$

चरण 5.1.2.3.1.2

$- 1 \cdot (2 v)$ को $- (2 v)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - (2 v) + \frac{- 1}{- 1}$

चरण 5.1.2.3.1.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 v + \frac{- 1}{- 1}$

चरण 5.1.2.3.1.4

$- 1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 v + 1$

चरण 5.1.3

दोनों पक्षों को $v$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- 2 v + 1) v$

चरण 5.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1.1

$v$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- 2 v + 1) v$

चरण 5.1.4.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} = (- 2 v + 1) v$

चरण 5.1.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.2.1

$(- 2 v + 1) v$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v \cdot v + 1 v$

चरण 5.1.4.2.1.2

घातांक जोड़कर $v$ को $v$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.2.1.2.1

$v$ ले जाएं.

$\frac{d v}{d x} = - 2 (v \cdot v) + 1 v$

चरण 5.1.4.2.1.2.2

$v$ को $v$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{2} + 1 v$

चरण 5.1.4.2.1.3

$v$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{2} + v$

चरण 5.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{- 2 v^{2} + v}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v^{2} + v} (- 2 v^{2} + v)$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- 2 v^{2} + v$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

$- 2 v^{2}$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v) + v} (- 2 v^{2} + v)$

चरण 5.3.1.2

$v$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v) + v^{1}} (- 2 v^{2} + v)$

चरण 5.3.1.3

$v^{1}$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v) + v \cdot 1} (- 2 v^{2} + v)$

चरण 5.3.1.4

$v (- 2 v) + v \cdot 1$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v + 1)} (- 2 v^{2} + v)$

चरण 5.3.2

$\frac{1}{v (- 2 v + 1)}$ को $- 2 v^{2} + v$ से गुणा करें.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v^{2} + v}{v (- 2 v + 1)}$

चरण 5.3.3

$- 2 v^{2} + v$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$- 2 v^{2}$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v) + v}{v (- 2 v + 1)}$

चरण 5.3.3.2

$v$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v) + v^{1}}{v (- 2 v + 1)}$

चरण 5.3.3.3

$v^{1}$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v) + v \cdot 1}{v (- 2 v + 1)}$

चरण 5.3.3.4

$v (- 2 v) + v \cdot 1$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v + 1)}{v (- 2 v + 1)}$

चरण 5.3.4

$v$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v + 1)}{v (- 2 v + 1)}$

चरण 5.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v + 1}{- 2 v + 1}$

चरण 5.3.5

$- 2 v + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v + 1}{- 2 v + 1}$

चरण 5.3.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = 1$

चरण 5.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} d v = 1 d x$

चरण 6

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{- 2 v^{2} + v} d v = \int d x$

चरण 6.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

आंशिक भिन्न अपघटन का प्रयोग करके भिन्न लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

भिन्न को विघटित करें और सामान्य भाजक से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1

$- 2 v^{2} + v$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1.1

$- 2 v^{2}$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{v (- 2 v) + v}$

चरण 6.2.1.1.1.2

$v$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{v (- 2 v) + v^{1}}$

चरण 6.2.1.1.1.3

$v^{1}$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{v (- 2 v) + v \cdot 1}$

चरण 6.2.1.1.1.4

$v (- 2 v) + v \cdot 1$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{v (- 2 v + 1)}$

चरण 6.2.1.1.2

भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि भाजक में गुणनखंड रैखिक है, इसलिए उसके स्थान पर एक ही चर डालें $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{- 2 v + 1}$

चरण 6.2.1.1.3

मूल व्यंजक के भाजक से समीकरण में प्रत्येक भिन्न को गुणा करें. इस स्थिति में, भाजक $v (- 2 v + 1)$ होगा.

$\frac{1 (v (- 2 v + 1))}{v (- 2 v + 1)} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

चरण 6.2.1.1.4

$v$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 (v (- 2 v + 1))}{v (- 2 v + 1)} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

चरण 6.2.1.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 (- 2 v + 1)}{- 2 v + 1} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

चरण 6.2.1.1.5

$- 2 v + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 (- 2 v + 1)}{- 2 v + 1} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

चरण 6.2.1.1.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

चरण 6.2.1.1.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.6.1

$v$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.6.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

चरण 6.2.1.1.6.1.2

$A (- 2 v + 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$1 = A (- 2 v + 1) + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

चरण 6.2.1.1.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 = A (- 2 v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

चरण 6.2.1.1.6.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$1 = - 2 A v + A \cdot 1 + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

चरण 6.2.1.1.6.4

$A$ को $1$ से गुणा करें.

$1 = - 2 A v + A + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

चरण 6.2.1.1.6.5

$- 2 v + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.6.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 = - 2 A v + A + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

चरण 6.2.1.1.6.5.2

$B v$ को $1$ से विभाजित करें.

$1 = - 2 A v + A + B v$

चरण 6.2.1.1.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.7.1

$A$ ले जाएं.

$1 = - 2 v A + A + B v$

चरण 6.2.1.1.7.2

$B$ और $v$ को पुन: क्रमित करें.

$1 = - 2 v A + A + B v$

चरण 6.2.1.1.7.3

$A$ ले जाएं.

$1 = - 2 v A + B v + A$

चरण 6.2.1.2

आंशिक भिन्न चर के लिए समीकरण बनाएंं और समीकरणों की प्रणाली स्थापित करने के लिए उनका उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.2.1

समीकरण के दोनों ओर के $v$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$0 = - 2 A + B$

चरण 6.2.1.2.2

उन पदों, जिनमें $v$ न हो, के गुणांकों को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना चाहिए.

$1 = A$

चरण 6.2.1.2.3

आंशिक भिन्नों के गुणांक ज्ञात करने के लिए समीकरणों की प्रणाली सेट करें.

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

चरण 6.2.1.3

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.3.1

समीकरण को $A = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$A = 1$

$0 = - 2 A + B$

चरण 6.2.1.3.2

प्रत्येक समीकरण में $A$ की सभी घटनाओं को $1$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.3.2.1

$A$ की सभी घटनाओं को $0 = - 2 A + B$ में $1$ से बदलें.

$0 = - 2 \cdot 1 + B$

$A = 1$

चरण 6.2.1.3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.3.2.2.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$0 = - 2 + B$

$A = 1$

$0 = - 2 + B$

$A = 1$

$0 = - 2 + B$

$A = 1$

चरण 6.2.1.3.3

$B$ के लिए $0 = - 2 + B$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.3.3.1

समीकरण को $- 2 + B = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 + B = 0$

$A = 1$

चरण 6.2.1.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

चरण 6.2.1.3.4

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

$B = 2 A = 1$

चरण 6.2.1.3.5

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$B = 2, A = 1$

चरण 6.2.1.4

$\frac{A}{v} + \frac{B}{- 2 v + 1}$ में प्रत्येक आंशिक भिन्न गुणांक को $A$ और $B$ के मानों से बदलें.

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- 2 v + 1}$

चरण 6.2.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.5.1

$- 2 v$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- (2 v) + 1}$

चरण 6.2.1.5.2

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- (2 v) - 1 \cdot - 1}$

चरण 6.2.1.5.3

$- (2 v) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- (2 v - 1)}$

चरण 6.2.1.5.4

ऋणात्मक रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.5.4.1

$- (2 v - 1)$ को $- 1 (2 v - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- 1 (2 v - 1)}$

चरण 6.2.1.5.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int \frac{1}{v} - \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

चरण 6.2.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

चरण 6.2.3

$v$ के संबंध में $\frac{1}{v}$ का इंटीग्रल $\ln (| v |)$ है.

$\ln (| v |) + C_{1} + \int - \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

चरण 6.2.4

चूँकि $- 1$ बटे $v$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

चरण 6.2.5

चूँकि $2$ बटे $v$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| v |) + C_{1} - (2 \int \frac{1}{2 v - 1} d v) = \int d x$

चरण 6.2.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{2 v - 1} d v = \int d x$

चरण 6.2.7

मान लीजिए $u_{2} = 2 v - 1$ .फिर $d u_{2} = 2 d v$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.1

मान लें $u_{2} = 2 v - 1$ . $\frac{d u_{2}}{d v}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.1.1

$2 v - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d v} [2 v - 1]$

चरण 6.2.7.1.2

योग नियम के अनुसार, $v$ के संबंध में $2 v - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

चरण 6.2.7.1.3

$\frac{d}{d v} [2 v]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.1.3.1

चूंकि $2$ , $v$ के संबंध में स्थिर है, $v$ के संबंध में $2 v$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d v} [v]$ है.

$2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

चरण 6.2.7.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ $n v^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

चरण 6.2.7.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d v} [- 1]$

चरण 6.2.7.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.1.4.1

चूंकि $v$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $v$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 6.2.7.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 6.2.7.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int d x$

चरण 6.2.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.8.1

$\frac{1}{u_{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d x$

चरण 6.2.8.2

$2$ को $u_{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

चरण 6.2.9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

चरण 6.2.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.10.1

$\frac{1}{2}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

चरण 6.2.10.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.10.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

चरण 6.2.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.10.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

चरण 6.2.10.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

चरण 6.2.10.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

चरण 6.2.10.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

चरण 6.2.11

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\ln (| v |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

चरण 6.2.12

सरल करें.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

चरण 6.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x + C_{4}$

चरण 6.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x + C$

चरण 7

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x + C$

चरण 7.2

$x$ और $C$ को पुन: क्रमित करें.

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + x$

चरण 7.3

$v$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{C + x}$

चरण 7.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + x$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C + x} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

चरण 7.5

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

समीकरण को $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + x}$

चरण 7.5.2

दोनों पक्षों को $| u_{2} |$ से गुणा करें.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + x} | u_{2} |$

चरण 7.5.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.3.1

$| u_{2} |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + x} | u_{2} |$

चरण 7.5.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| v | = e^{C + x} | u_{2} |$

चरण 7.5.4

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.4.1

गुणनखंडों को $e^{C + x} | u_{2} |$ में पुन: क्रमित करें.

$| v | = | u_{2} | e^{C + x}$

चरण 7.5.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$v = \pm | u_{2} | e^{C + x}$

चरण 8

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$v = \pm | u_{2} | e^{x + C}$

चरण 8.2

$e^{x + C}$ को $e^{x} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$v = \pm | u_{2} | (e^{x} e^{C})$

चरण 8.3

$e^{x}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{x})$

चरण 8.4

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$v = C | u_{2} | e^{x}$

चरण 9

$v$ की सभी घटनाओं को $e^{x - y}$ से बदलें.

$e^{x - y} = C | u_{2} | e^{x}$

चरण 10

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x - y}) = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

चरण 10.2

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$x - y$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x - y})$ का प्रसार करें.

$(x - y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

चरण 10.2.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$(x - y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

चरण 10.2.3

$x - y$ को $1$ से गुणा करें.

$x - y = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

चरण 10.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$\ln (C | u_{2} | e^{x})$ को $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x})$ के रूप में फिर से लिखें.

$x - y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x})$

चरण 10.3.2

$\ln (C | u_{2} |)$ को $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{x})$

चरण 10.3.3

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x \ln (e)$

चरण 10.3.4

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x \cdot 1$

चरण 10.3.5

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x$

चरण 10.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$x - y = \ln (C | u_{2} |) + x$

चरण 10.5

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$- y = \ln (C | u_{2} |) + x - x$

चरण 10.5.2

$\ln (C | u_{2} |) + x - x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$- y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

चरण 10.5.2.2

$\ln (C | u_{2} |)$ और $0$ जोड़ें.

$- y = \ln (C | u_{2} |)$

चरण 10.6

$- y = \ln (C | u_{2} |)$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.6.1

$- y = \ln (C | u_{2} |)$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

चरण 10.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.6.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

चरण 10.6.2.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

चरण 10.6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.6.3.1

ऋणात्मक को $\frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$y = - 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$

चरण 10.6.3.2

$- 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$ को $- \ln (C | u_{2} |)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - \ln (C | u_{2} |)$

चरण 11

$x$ के लिए $0$ और $y = - \ln (C | u_{2} |)$ में $y$ के लिए $\ln (8)$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$\ln (8) = - \ln (C | u_{2} |)$

चरण 12

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

समीकरण को $- \ln (C | u_{2} |) = \ln (8)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \ln (C | u_{2} |) = \ln (8)$

चरण 12.2

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (C | u_{2} |)$ को सरल करें.

$\ln ({(C | u_{2} |)}^{- 1}) = \ln (8)$

चरण 12.3

समीकरण को समान होने के लिए, समीकरण के दोनों बाजुओं पर लघुगणक का तर्क समान होना चाहिए.

${(C | u_{2} |)}^{- 1} = 8$

चरण 12.4

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{C | u_{2} |} = 8$

चरण 12.4.2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$C | u_{2} |, 1$

चरण 12.4.2.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$C | u_{2} |$

चरण 12.4.3

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{1}{C | u_{2} |} = 8$ के प्रत्येक पद को $C | u_{2} |$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.3.1

$\frac{1}{C | u_{2} |} = 8$ के प्रत्येक पद को $C | u_{2} |$ से गुणा करें.

$\frac{1}{C | u_{2} |} (C | u_{2} |) = 8 (C | u_{2} |)$

चरण 12.4.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.3.2.1

$C | u_{2} |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{C | u_{2} |} (C | u_{2} |) = 8 (C | u_{2} |)$

चरण 12.4.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 = 8 (C | u_{2} |)$

चरण 12.4.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.3.3.1

कोष्ठक हटा दें.

$1 = 8 C | u_{2} |$

चरण 12.4.4

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.4.1

समीकरण को $8 C | u_{2} | = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$8 C | u_{2} | = 1$

चरण 12.4.4.2

$8 C | u_{2} | = 1$ के प्रत्येक पद को $8 | u_{2} |$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.4.2.1

$8 C | u_{2} | = 1$ के प्रत्येक पद को $8 | u_{2} |$ से विभाजित करें.

$\frac{8 C | u_{2} |}{8 | u_{2} |} = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

चरण 12.4.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.4.2.2.1

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.4.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{8 C | u_{2} |}{8 | u_{2} |} = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

चरण 12.4.4.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{C | u_{2} |}{| u_{2} |} = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

चरण 12.4.4.2.2.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

चरण 13

$\frac{1}{8 | u_{2} |}$ को $y = - \ln (C | u_{2} |)$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{1}{8 | u_{2} |}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = - \ln (\frac{1}{8 | u_{2} |} | u_{2} |)$

चरण 13.2

$| u_{2} |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$8 | u_{2} |$ में से $| u_{2} |$ का गुणनखंड करें.

$y = - \ln (\frac{1}{| u_{2} | \cdot 8} | u_{2} |)$

चरण 13.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = - \ln (\frac{1}{| u_{2} | \cdot 8} | u_{2} |)$

चरण 13.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = - \ln (\frac{1}{8})$