कैलकुलस उदाहरण

$(x y + x + 2 y + 1) d x + (x + 1) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x y + x + 2 y + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x + 2 y + 1]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x y + x + 2 y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.5

$\frac{d}{d y} [2 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.5.2

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.5.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.6

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 + 0$

चरण 1.7

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 + 0$

चरण 1.7.2

$x + 2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

चरण 2.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $x + 2$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $1$ प्रतिस्थापित करें.

$x + 2 = 1$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$x + 2 = 1$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x + 2$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$1$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x + 2 - 1}{N}$

चरण 4.3

$x + 1$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x + 1$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x + 2 - 1}{x + 1}$

चरण 4.3.2

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{x + 1}{x + 1}$

चरण 4.3.3

$x + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x + 1}{x + 1}$

चरण 4.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

चरण 5.2

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

चरण 6

$(x y + x + 2 y + 1) d x + (x + 1) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x y + x + 2 y + 1$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

$(x y + x + 2 y + 1) e^{x} d x + (x + 1) d y = 0$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + 1 e^{x}) d x + (x + 1) d y = 0$

चरण 6.3

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x + 1) d y = 0$

चरण 6.4

$x + 1$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x + 1) e^{x} d y = 0$

चरण 6.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x e^{x} + 1 e^{x}) d y = 0$

चरण 6.6

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x e^{x} + e^{x}) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x e^{x} + e^{x} d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x e^{x} + e^{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y + g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $(x e^{x} + e^{x}) y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $(x e^{x} + e^{x}) y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x}]$ है.

$y \frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 11.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x e^{x} + e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$y (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 11.3.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 11.3.4

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 11.3.5

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 11.3.6

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 11.3.7

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$y (x e^{x} + e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 11.3.8

$e^{x}$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$y (x e^{x} + 2 e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y (x e^{x} + 2 e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 11.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y (x e^{x}) + y (2 e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 11.5.2

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y x e^{x} + 2 y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 11.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + 2 e^{x} y = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 11.5.4

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + 2 e^{x} y$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + 2 y e^{x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - x y e^{x}$

चरण 12.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - x y e^{x} - 2 y e^{x}$

चरण 12.1.3

$x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - x y e^{x} - 2 y e^{x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.3.1

$x y e^{x}$ में से $x y e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} + 0 - 2 y e^{x}$

चरण 12.1.3.2

$x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - 2 y e^{x}$

चरण 12.1.3.3

$2 y e^{x}$ में से $2 y e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + 0 + e^{x}$

चरण 12.1.3.4

$x e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + e^{x}$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $x e^{x} + e^{x}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + e^{x}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x e^{x} + e^{x} d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int x e^{x} + e^{x} d x$

चरण 13.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (x) = \int x e^{x} d x + \int e^{x} d x$

चरण 13.4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (x) = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int e^{x} d x$

चरण 13.5

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$g (x) = x e^{x} - (e^{x} + C) + \int e^{x} d x$

चरण 13.6

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$g (x) = x e^{x} - (e^{x} + C) + e^{x} + C$

चरण 13.7

सरल करें.

$g (x) = x e^{x} - e^{x} + e^{x} + C$

चरण 13.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.8.1

$- e^{x}$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$g (x) = x e^{x} + 0 + C$

चरण 13.8.2

$x e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$g (x) = x e^{x} + C$

चरण 14

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + x e^{x} + C$

चरण 15

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + x e^{x} + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y + x e^{x} + C$

चरण 15.2

गुणनखंडों को $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y + x e^{x} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = x y e^{x} + y e^{x} + x e^{x} + C$