कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x y + y}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x y + y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y}$

चरण 1.1.2

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y^{1}}$

चरण 1.1.3

$y^{1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y \cdot 1}$

चरण 1.1.4

$y x + y \cdot 1$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

चरण 1.2

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1}$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{y}{y^{2} + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1})$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$\frac{y^{2} + 1}{y}$ को $\frac{1}{x + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

चरण 1.4.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

चरण 1.4.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

चरण 1.4.3

$y^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

चरण 1.4.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 1}$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u_{1} = y^{2} + 1$ .फिर $d u_{1} = 2 y d y$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u_{1} = y^{2} + 1$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$y^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.2.1.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 y + 0$

चरण 2.2.1.1.5

$2 y$ और $0$ जोड़ें.

$2 y$

चरण 2.2.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$\frac{1}{u_{1}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 2.2.2.2

$2$ को $u_{1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 2.2.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 2.2.4

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 2.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 2.2.6

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y^{2} + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u_{2} = x + 1$ . फिर $d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u_{2} = x + 1$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 2.3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.3.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.2

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

चरण 2.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 1 |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = \ln (| x + 1 |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln (| y^{2} + 1 |)$ को मिलाएं.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \ln (| x + 1 |) + 2 C$

चरण 3.3

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |) = 2 C$

चरण 3.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 2 \ln (| x + 1 |)$ को सरल करें.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({| x + 1 |}^{2}) = 2 C$

चरण 3.4.1.1.2

${| x + 1 |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({(x + 1)}^{2}) = 2 C$

चरण 3.4.1.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}})} = e^{2 C}$

चरण 3.6

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{2 C} = \frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.7

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

समीकरण को $\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$

चरण 3.7.2

दोनों पक्षों को ${(x + 1)}^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

चरण 3.7.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1

${(x + 1)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

चरण 3.7.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

चरण 3.7.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1

$e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1.1

${(x + 1)}^{2}$ को $(x + 1) (x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} ((x + 1) (x + 1))$

चरण 3.7.4.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 1) (x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

चरण 3.7.4.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

चरण 3.7.4.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

चरण 3.7.4.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

चरण 3.7.4.1.3.1.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

चरण 3.7.4.1.3.1.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

चरण 3.7.4.1.3.1.4

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1)$

चरण 3.7.4.1.3.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + 2 x + 1)$

चरण 3.7.4.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} (2 x) + e^{2 C} \cdot 1$

चरण 3.7.4.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1.5.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C} \cdot 1$

चरण 3.7.4.1.5.2

$e^{2 C}$ को $1$ से गुणा करें.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$

चरण 3.7.4.1.6

गुणनखंडों को $e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$ में पुन: क्रमित करें.

$| y^{2} + 1 | = x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}$

चरण 3.7.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y^{2} + 1 = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C})$

चरण 3.7.4.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y^{2} = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1$

चरण 3.7.4.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} C + 2 x C + C) - 1}$