कैलकुलस उदाहरण

$(y + 1) e^{x} d x - (e^{x} + 1) d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(y + 1) e^{x} d x$ घटाएं.

$- (e^{x} + 1) d y = - (y + 1) e^{x} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (e^{x} + 1)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

चरण 3.2

$e^{x} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

चरण 3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

चरण 3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

चरण 3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

चरण 3.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

चरण 3.5

$y + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

चरण 3.5.2

$(e^{x} + 1) (y + 1)$ में से $y + 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

चरण 3.5.3

$(y + 1) e^{x}$ में से $y + 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) (e^{x})) d x$

चरण 3.5.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

चरण 3.5.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 1} e^{x} d x$

चरण 3.6

$\frac{- 1}{e^{x} + 1}$ और $e^{x}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

चरण 3.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

चरण 4.2.2

मान लीजिए $u_{1} = y + 1$ . फिर $d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

मान लें $u_{1} = y + 1$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$y + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

चरण 4.2.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 4.2.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 4.2.2.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.2.2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2.2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

चरण 4.2.3

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

चरण 4.2.4

सरल करें.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

चरण 4.2.5

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y + 1$ से बदलें.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

चरण 4.3.2

मान लीजिए $u_{2} = e^{x} + 1$ .फिर $d u_{2} = e^{x} d x$ , तो $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

मान लें $u_{2} = e^{x} + 1$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$e^{x} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

चरण 4.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.3.2.1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.3.2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{x} + 0$

चरण 4.3.2.1.4.2

$e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$e^{x}$

चरण 4.3.2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.3

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

चरण 4.3.4

सरल करें.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

चरण 4.3.5

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{x} + 1$ से बदलें.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C$