कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y)$

चरण 1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

चरण 1.2.2

$2$ और $\frac{1}{y}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

चरण 1.2.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$\frac{1}{x + 7} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

चरण 1.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

चरण 1.2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{x + 7}$

चरण 1.2.4

$2$ और $\frac{1}{x + 7}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x + 7}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x + 7} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x + 7} d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x + 7} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x + 7} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = x + 7$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = x + 7$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$x + 7$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

चरण 2.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 7$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

चरण 2.3.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

चरण 2.3.2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $7$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.3.2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.3

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

चरण 2.3.4

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 2.3.5

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 7$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = 2 \ln (| x + 7 |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |) = C$

चरण 3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 2 \ln (| x + 7 |)$ को सरल करें.

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 7 |}^{2}) = C$

चरण 3.2.1.1.2

${| x + 7 |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (| y |) - \ln ({(x + 7)}^{2}) = C$

चरण 3.2.1.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}})} = e^{C}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = \frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$

चरण 3.5.2

दोनों पक्षों को ${(x + 7)}^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

चरण 3.5.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

${(x + 7)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

चरण 3.5.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| y | = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

चरण 3.5.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

$e^{C} {(x + 7)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.1

${(x + 7)}^{2}$ को $(x + 7) (x + 7)$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{C} ((x + 7) (x + 7))$

चरण 3.5.4.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 7) (x + 7)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| y | = e^{C} (x (x + 7) + 7 (x + 7))$

चरण 3.5.4.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7))$

चरण 3.5.4.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

चरण 3.5.4.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} (x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

चरण 3.5.4.1.3.1.2

$7$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7)$

चरण 3.5.4.1.3.1.3

$7$ को $7$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 x + 7 x + 49)$

चरण 3.5.4.1.3.2

$7 x$ और $7 x$ जोड़ें.

$| y | = e^{C} (x^{2} + 14 x + 49)$

चरण 3.5.4.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| y | = e^{C} x^{2} + e^{C} (14 x) + e^{C} \cdot 49$

चरण 3.5.4.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.5.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + e^{C} \cdot 49$

चरण 3.5.4.1.5.2

$49$ को $e^{C}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 \cdot e^{C}$

चरण 3.5.4.1.6

गुणनखंडों को $e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 e^{C}$ में पुन: क्रमित करें.

$| y | = x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C}$

चरण 3.5.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C})$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm (x^{2} C + 14 x C + C)$