कैलकुलस उदाहरण

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ , $y (0) = 1$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ के प्रत्येक पद को $x^{2} + 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ के प्रत्येक पद को $x^{2} + 1$ से विभाजित करें.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$x^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

चरण 1.2

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} y$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x^{2} + 1} y)$

चरण 1.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$\frac{x}{x^{2} + 1} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

चरण 1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

चरण 1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 2.3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 2.3.1.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 2.3.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.3.2.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 2.3.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 2.3.6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln (| x^{2} + 1 |)$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

चरण 3.2

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 3.3

$\ln (| y |)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 3.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\ln (| y |)$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 3.4.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 3.5

$2$ को $\ln (| y |)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 3.6

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 3.6.1.1.2

${| y |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 3.6.1.1.3

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2} = C$

चरण 3.6.1.2

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2}$ को $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}) = C$

चरण 3.6.1.3

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ को सरल करें.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 3.6.1.4

उत्पाद नियम को $\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}$ पर लागू करें.

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

चरण 3.6.1.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.5.1

घातांक को ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.5.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

चरण 3.6.1.5.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.5.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

चरण 3.6.1.5.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

चरण 3.6.1.5.2

सरल करें.

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

चरण 3.7

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

चरण 3.8

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.9

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

समीकरण को $\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

चरण 3.9.2

दोनों पक्षों को ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

चरण 3.9.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.3.1

${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

चरण 3.9.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

चरण 5

$x$ के लिए $0$ और $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$

चरण 6.2

$C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ के प्रत्येक पद को ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ के प्रत्येक पद को ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.2.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$C = \frac{1}{{| 0 + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.3.1.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$C = \frac{1}{{| 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.3.1.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$C = \frac{1}{1^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.3.1.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$C = \frac{1}{1}$

चरण 6.2.3.2

$1$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = 1$

चरण 7

$1$ को $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

चरण 7.2

${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$y = {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$