कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} (y d) y - (x + 1) (y + 1) d x = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों में $(x + 1) (y + 1) d x$ जोड़ें.

$x^{2} y d y = (x + 1) (y + 1) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x^{2} (y + 1)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x^{2} y$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} (y)) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y + 1} y d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

चरण 3.2

$\frac{1}{y + 1}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

चरण 3.3

$y + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$x^{2} (y + 1)$ में से $y + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d x$

चरण 3.3.2

$(x + 1) (y + 1)$ में से $y + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((y + 1) (x + 1)) d x$

चरण 3.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((y + 1) (x + 1)) d x$

चरण 3.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} (x + 1) d x$

चरण 3.4

$\frac{1}{x^{2}}$ को $x + 1$ से गुणा करें.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$y$ को $y + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$y$

$1$

$y$

$0$

चरण 4.2.1.2

भाज्य $y$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

चरण 4.2.1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

चरण 4.2.1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $y + 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

चरण 4.2.1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

चरण 4.2.1.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

चरण 4.2.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

चरण 4.2.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

चरण 4.2.4

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

चरण 4.2.5

मान लीजिए $u = y + 1$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

मान लें $u = y + 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1.1

$y + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

चरण 4.2.5.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 4.2.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 4.2.5.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.2.5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

चरण 4.2.6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

चरण 4.2.7

सरल करें.

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

चरण 4.2.8

$u$ की सभी घटनाओं को $y + 1$ से बदलें.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

$x^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

चरण 4.3.1.2

घातांक को ${(x^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

चरण 4.3.1.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{- 2} d x$

चरण 4.3.2

$(x + 1) x^{- 2}$ गुणा करें.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

चरण 4.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- 2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.1

$x$ को $x^{- 2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

चरण 4.3.3.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

चरण 4.3.3.1.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

चरण 4.3.3.2

$x^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

चरण 4.3.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

चरण 4.3.5

$x$ के संबंध में $x^{- 1}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int x^{- 2} d x$

चरण 4.3.6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 2}$ का समाकलन $- x^{- 1}$ है.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - x^{- 1} + C_{5}$

चरण 4.3.7

सरल करें.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{6}$

चरण 4.3.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$y - \ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$