कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t y}{t^{2} + 1}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1} y$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (\frac{8 t}{t^{2} + 1} y)$

चरण 1.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{8 t}{t^{2} + 1} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

चरण 1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

चरण 1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1}$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $8$ बटे $t$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = t^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 t d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = t d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = t^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$t^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

चरण 2.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ है.

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 2.3.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 2.3.2.1.4

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 t + 0$

चरण 2.3.2.1.5

$2 t$ और $0$ जोड़ें.

$2 t$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.3.3.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ और $8$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.5.2

$8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.5.2.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

चरण 2.3.7

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 2.3.8

$u$ की सभी घटनाओं को $t^{2} + 1$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |) = C$

चरण 3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$4$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ को सरल करें.

$\ln (| y |) - \ln ({| t^{2} + 1 |}^{4}) = C$

चरण 3.2.1.1.2

${| t^{2} + 1 |}^{4}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (| y |) - \ln ({(t^{2} + 1)}^{4}) = C$

चरण 3.2.1.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}})} = e^{C}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = \frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$

चरण 3.5.2

दोनों पक्षों को ${(t^{2} + 1)}^{4}$ से गुणा करें.

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

चरण 3.5.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

${(t^{2} + 1)}^{4}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

चरण 3.5.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| y | = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

चरण 3.5.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

$e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$| y | = e^{C} ({(t^{2})}^{4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

चरण 3.5.4.1.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.2.1.1

घातांक को ${(t^{2})}^{4}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{2 \cdot 4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

चरण 3.5.4.1.2.1.1.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

चरण 3.5.4.1.2.1.2

घातांक को ${(t^{2})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.2.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{2 \cdot 3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

चरण 3.5.4.1.2.1.2.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

चरण 3.5.4.1.2.1.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

चरण 3.5.4.1.2.1.4

घातांक को ${(t^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.2.1.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{2 \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

चरण 3.5.4.1.2.1.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

चरण 3.5.4.1.2.1.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1 + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

चरण 3.5.4.1.2.1.6

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

चरण 3.5.4.1.2.1.7

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1 + 1^{4})$

चरण 3.5.4.1.2.1.8

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1^{4})$

चरण 3.5.4.1.2.1.9

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1)$

चरण 3.5.4.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| y | = e^{C} t^{8} + e^{C} (4 t^{6}) + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

चरण 3.5.4.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

चरण 3.5.4.1.3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

चरण 3.5.4.1.3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C} \cdot 1$

चरण 3.5.4.1.3.4

$e^{C}$ को $1$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$

चरण 3.5.4.1.4

गुणनखंडों को $e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$ में पुन: क्रमित करें.

$| y | = t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C}$

चरण 3.5.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm (t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C})$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm (t^{8} C + 4 t^{6} C + 6 t^{4} C + 4 t^{2} C + C)$