कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} = 8 t + 6 t^{2}$ , $y (1) = 2$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = (8 t + 6 t^{2}) d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \int 8 t d t + \int 6 t^{2} d t$

चरण 2.3.2

चूँकि $8$ बटे $t$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 8 \int t d t + \int 6 t^{2} d t$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t$ का समाकलन $\frac{1}{2} t^{2}$ है.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 6 t^{2} d t$

चरण 2.3.4

चूँकि $6$ बटे $t$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 \int t^{2} d t$

चरण 2.3.5

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} t^{3}$ है.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

चरण 2.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

सरल करें.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.1

$8$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{8}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2

$8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.3

$6$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{6}{3} t^{3} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.4

$6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.4.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} t^{3} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.4.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{2}{1} t^{3} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 2 t^{3} + C_{4}$

चरण 2.3.7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{1} = 2 t^{3} + 4 t^{2} + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$

चरण 3

$t$ के लिए $1$ और $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ में $y$ के लिए $2$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$2 = 2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

चरण 4.2

$2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$2 \cdot 1 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

चरण 4.2.1.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

चरण 4.2.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$2 + 4 \cdot 1 + K = 2$

चरण 4.2.1.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + 4 + K = 2$

चरण 4.2.2

$2$ और $4$ जोड़ें.

$6 + K = 2$

चरण 4.3

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$K = 2 - 6$

चरण 4.3.2

$2$ में से $6$ घटाएं.

$K = - 4$

चरण 5

$- 4$ को $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 4$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} - 4$