कैलकुलस उदाहरण

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = \sin (8 x)$

चरण 1

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $e^{5 x} y$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{5 x}$ और $g (x) = y$ है.

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{5 x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

चरण 1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 5 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $5 x$ के रूप में सेट करें.

$e^{5 x} y' + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 1.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{5 x} y' + y (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 1.4

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 1.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

चरण 1.6

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \cdot 5)$

चरण 1.7

$5$ को $e^{5 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{5 x} y' + y (5 e^{5 x})$

चरण 1.8

$\frac{d y}{d x}$ को $y'$ से प्रतिस्थापित करें.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y (5 e^{5 x})$

चरण 1.9

कोष्ठक हटा दें.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y \cdot 5 e^{5 x}$

चरण 1.10

$y$ और $5$ को पुन: क्रमित करें.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 \cdot y e^{5 x}$

चरण 2

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = \sin (8 x)$

चरण 3

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int \sin (8 x) d x$

चरण 4

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{5 x} y = \int \sin (8 x) d x$

चरण 5

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लीजिए $u = 8 x$ .फिर $d u = 8 d x$ , तो $\frac{1}{8} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

मान लें $u = 8 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

$8 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [8 x]$

चरण 5.1.1.2

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$8 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.1.3

$8 \cdot 1$

चरण 5.1.1.4

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$8$

चरण 5.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{5 x} y = \int \sin (u) \frac{1}{8} d u$

चरण 5.2

$\sin (u)$ और $\frac{1}{8}$ को मिलाएं.

$e^{5 x} y = \int \frac{\sin (u)}{8} d u$

चरण 5.3

चूँकि $\frac{1}{8}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{8}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} \int \sin (u) d u$

चरण 5.4

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u) + C)$

चरण 5.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

सरल करें.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u)) + C$

चरण 5.5.2

$\frac{1}{8}$ और $\cos (u)$ को मिलाएं.

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (u)}{8} + C$

चरण 5.6

$u$ की सभी घटनाओं को $8 x$ से बदलें.

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (8 x)}{8} + C$

चरण 5.7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$

चरण 6

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{5 x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{5 x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

चरण 6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$e^{5 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

चरण 6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

चरण 6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$\cos (8 x)$ और $\frac{1}{8}$ को मिलाएं.

$y = \frac{- \frac{\cos (8 x)}{8}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

चरण 6.3.1.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

चरण 6.3.1.3

$\frac{1}{e^{5 x}}$ को $\frac{\cos (8 x)}{8}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{\cos (8 x)}{e^{5 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{5 x}}$

चरण 6.3.1.4

$8$ को $e^{5 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$