कैलकुलस उदाहरण

$8 x y^{3} d x + 12 x^{2} y^{2} d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $8 x y^{3} d x$ घटाएं.

$12 x^{2} y^{2} d y = - 8 x y^{3} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (12 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$12 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

चरण 3.2

$12$ और $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{12}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

चरण 3.3

$x^{2} y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$x^{2} y^{3}$ में से $x^{2} y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{12}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

चरण 3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{12}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

चरण 3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{12}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

चरण 3.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{12}{y} d y = - 8 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

चरण 3.5

$- 8$ और $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

चरण 3.6

$x y^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$x^{2} y^{3}$ में से $x y^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

चरण 3.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

चरण 3.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x} d x$

चरण 3.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{12}{y} d y = - \frac{8}{x} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{12}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चूँकि $12$ बटे $y$ अचर है, $12$ को समाकलन से हटा दें.

$12 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

चरण 4.2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$12 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{8}{x} d x$

चरण 4.2.3

सरल करें.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{8}{x} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{8}{x} d x$

चरण 4.3.2

चूँकि $8$ बटे $x$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x} d x)$

चरण 4.3.3

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.4

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 (\ln (| x |) + C_{2})$

चरण 4.3.5

सरल करें.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$12 \ln (| y |) = - 8 \ln (| x |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |) = C$

चरण 5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$12$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $12 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$\ln ({| y |}^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

चरण 5.2.1.1.2

${| y |}^{12}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (y^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

चरण 5.2.1.1.3

$8$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $8 \ln (| x |)$ को सरल करें.

$\ln (y^{12}) + \ln ({| x |}^{8}) = C$

चरण 5.2.1.1.4

${| x |}^{8}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (y^{12}) + \ln (x^{8}) = C$

चरण 5.2.1.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (y^{12} x^{8}) = C$

चरण 5.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (y^{12} x^{8})} = e^{C}$

चरण 5.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (y^{12} x^{8}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = y^{12} x^{8}$

चरण 5.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

समीकरण को $y^{12} x^{8} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{12} x^{8} = e^{C}$

चरण 5.5.2

$y^{12} x^{8} = e^{C}$ के प्रत्येक पद को $x^{8}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$y^{12} x^{8} = e^{C}$ के प्रत्येक पद को $x^{8}$ से विभाजित करें.

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

चरण 5.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1

$x^{8}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

चरण 5.5.2.2.1.2

$y^{12}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{12} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

चरण 5.5.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$

चरण 5.5.4

$\pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.1

$\sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ को $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$

चरण 5.5.4.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.2.1

$x^{8}$ को ${(x^{2})}^{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}}$

चरण 5.5.4.2.2

$\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}$ को $\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}}$

चरण 5.5.4.2.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

चरण 5.5.4.3

$\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ को $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

चरण 5.5.4.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.4.1

$\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ को $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

चरण 5.5.4.4.2

$\sqrt[3]{x^{2}}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

चरण 5.5.4.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

चरण 5.5.4.4.4

$1$ और $2$ जोड़ें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

चरण 5.5.4.4.5

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ को $x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.4.5.1

$\sqrt[3]{x^{2}}$ को $x^{\frac{2}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

चरण 5.5.4.4.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

चरण 5.5.4.4.5.3

$\frac{2}{3}$ और $3$ को मिलाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

चरण 5.5.4.4.5.4

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

चरण 5.5.4.4.5.5

$6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.4.5.5.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

चरण 5.5.4.4.5.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.4.5.5.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

चरण 5.5.4.4.5.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

चरण 5.5.4.4.5.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

चरण 5.5.4.4.5.5.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.5.1

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ को $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.5.2

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.5.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.5.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.5.3

$x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.5.4

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.5.5

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.5.5.1

$12$ के कम से कम सामान्य सूचकांक का उपयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.5.5.1.1

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.5.5.1.2

$x^{\frac{1}{3}}$ को $x^{\frac{4}{12}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{4}{12}})}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.5.5.1.3

$x^{\frac{4}{12}}$ को $\sqrt[12]{x^{4}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[12]{x^{4}})}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.5.5.2

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.6

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.6.1

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.6.1.1

$x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.6.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.6.1.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

चरण 5.5.4.6.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

चरण 5.5.4.6.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$

चरण 5.5.4.6.2

गुणनखंडों को $\pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

चरण 5.5.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.