कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{1 + e^{x}}$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int d x}$

चरण 1.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{x + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{x}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $e^{x}$ से गुणा करें.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \frac{1}{1 + e^{x}}$

चरण 2.2

$e^{x}$ और $\frac{1}{1 + e^{x}}$ को मिलाएं.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

चरण 2.3

गुणनखंडों को $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{x} y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लीजिए $u = 1 + e^{x}$ .फिर $d u = e^{x} d x$ , तो $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

मान लें $u = 1 + e^{x}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

$1 + e^{x}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

चरण 6.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 6.1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 6.1.1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$0 + e^{x}$

चरण 6.1.1.4

$0$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$e^{x}$

चरण 6.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{x} y = \int \frac{1}{u} d u$

चरण 6.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$e^{x} y = \ln (| u |) + C$

चरण 6.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + e^{x}$ से बदलें.

$e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

चरण 7

$e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |) + C}{e^{x}}$