कैलकुलस उदाहरण

$t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d x}{d t} + M (t) x = Q (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$ के प्रत्येक पद को $t$ से विभाजित करें.

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

चरण 1.2

$t$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

चरण 1.2.2

$\frac{d x}{d t}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d x}{d t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

चरण 1.3

$\frac{2 x}{t}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d x}{d t} + x \frac{2}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

चरण 1.4

$x$ और $\frac{2}{t}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d x}{d t} + \frac{2}{t} x = \frac{4 e^{t}}{t}$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (t) d t}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (t) = \frac{2}{t}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int \frac{2}{t} d t}$

चरण 2.2

$\frac{2}{t}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 \int \frac{1}{t} d t}$

चरण 2.2.2

$t$ के संबंध में $\frac{1}{t}$ का इंटीग्रल $\ln (| t |)$ है.

$e^{2 (\ln (| t |) + C)}$

चरण 2.2.3

सरल करें.

$e^{2 \ln (| t |) + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{2 \ln (t)}$

चरण 2.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln (t^{2})}$

चरण 2.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$t^{2}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $t^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $t^{2}$ से गुणा करें.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} (\frac{2}{t} x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{2}{t}$ और $x$ को मिलाएं.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

चरण 3.2.2

$t$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$t^{2}$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

चरण 3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

चरण 3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t (2 x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

चरण 3.2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

चरण 3.3

$t$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$t^{2}$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

चरण 3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

चरण 3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t (4 e^{t})$

चरण 3.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = 4 t e^{t}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d t} [t^{2} x] = 4 t e^{t}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d t} [t^{2} x] d t = \int 4 t e^{t} d t$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$t^{2} x = \int 4 t e^{t} d t$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

चूँकि $4$ बटे $t$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$t^{2} x = 4 \int t e^{t} d t$

चरण 7.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = t$ और $d v = e^{t}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

चरण 7.3

$t$ के संबंध में $e^{t}$ का इंटीग्रल $e^{t}$ है.

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

चरण 7.4

सरल करें.

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$

चरण 8

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ के प्रत्येक पद को $t^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ के प्रत्येक पद को $t^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$t^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

चरण 8.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t}) + C}{t^{2}}$

चरण 8.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x = \frac{4 (t e^{t}) + 4 (- e^{t}) + C}{t^{2}}$

चरण 8.3.2.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 t e^{t} - 4 e^{t} + C}{t^{2}}$