कैलकुलस उदाहरण

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$ , $y (0) = 5$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

चरण 2.3.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{- x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

चरण 2.3.3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

चरण 2.3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

चरण 2.3.4.2

$\int e^{- x} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

चरण 2.3.5

मान लीजिए $u = - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

मान लें $u = - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.1

$- x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.3.5.1.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 2.3.5.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 2.3.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

चरण 2.3.6

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

चरण 2.3.7

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

चरण 2.3.8

$4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ को $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

चरण 2.3.9

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

चरण 3

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

चरण 3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

चरण 3.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

चरण 3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

चरण 3.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

चरण 3.3.2.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

चरण 3.3.2.3

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

चरण 3.3.3

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$- 4 x e^{- x}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

चरण 3.3.3.2

$- 4 e^{- x}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

चरण 3.3.3.3

$- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

चरण 3.3.3.4

$K$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

चरण 3.3.3.5

$- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

चरण 3.3.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.6.1

$- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ को $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

चरण 3.3.3.6.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$

चरण 5

$x$ के लिए $0$ और $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ में $y$ के लिए $5$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$5 = - \frac{4 \cdot 0 e^{- 0} + 4 e^{0} + K}{2}$

चरण 6

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$

चरण 6.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $- 2$ से गुणा करें.

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}) = - 2 \cdot 5$

चरण 6.3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1.1.1

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- 2 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

चरण 6.3.1.1.1.1.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 1) \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

चरण 6.3.1.1.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot - 1 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

चरण 6.3.1.1.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- - (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

चरण 6.3.1.1.1.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1.2.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$- - (4 \cdot (0 e^{0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

चरण 6.3.1.1.1.2.2

शून्य से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1.2.2.1

$0$ को $e^{0}$ से गुणा करें.

$- - (4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

चरण 6.3.1.1.1.2.2.2

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$- - (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

चरण 6.3.1.1.1.2.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

चरण 6.3.1.1.1.2.4

$0 + 4 e^{0} + K$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

चरण 6.3.1.1.1.2.5

$0$ और $4 e^{0}$ जोड़ें.

$4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

चरण 6.3.1.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.2.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$4 \cdot 1 + K = - 2 \cdot 5$

चरण 6.3.1.1.2.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + K = - 2 \cdot 5$

चरण 6.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$- 2$ को $5$ से गुणा करें.

$4 + K = - 10$

चरण 6.4

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$K = - 10 - 4$

चरण 6.4.2

$- 10$ में से $4$ घटाएं.

$K = - 14$

चरण 7

$- 14$ को $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 14$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14}{2}$

चरण 7.2

$4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$4 x e^{- x}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 4 e^{- x} - 14}{2}$

चरण 7.2.2

$4 e^{- x}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x}) - 14}{2}$

चरण 7.2.3

$2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 14}{2}$

चरण 7.2.4

$- 14$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 \cdot - 7}{2}$

चरण 7.2.5

$2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 (- 7)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2}$

चरण 7.2.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 (1)}$

चरण 7.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 \cdot 1}$

चरण 7.2.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7}{1}$

चरण 7.2.6.4

$2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = - (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)$

चरण 7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

चरण 7.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

चरण 7.4.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} - - 7$

चरण 7.4.3

$- 1$ को $- 7$ से गुणा करें.

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + 7$

$y = - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + 7$