कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + y = y x e^{x + 2}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$\frac{d y}{d x} = y x e^{x + 2} - y$

चरण 1.2

$y x e^{x + 2} - y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$y x e^{x + 2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) - y$

चरण 1.2.2

$- y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$

चरण 1.2.3

$y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2} - 1)$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

चरण 1.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

चरण 1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x e^{x + 2} - 1$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = (x e^{x + 2} - 1) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{x + 2}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.3

मान लीजिए $u = x + 2$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

मान लें $u = x + 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.1

$x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

चरण 2.3.3.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.3.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.3.3.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{u} d u + \int - 1 d x$

चरण 2.3.4

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) + \int - 1 d x$

चरण 2.3.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) - x + C_{3}$

चरण 2.3.6

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{u} - x + C_{4}$

चरण 2.3.7

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 2$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{x + 2} - x + C_{4}$

चरण 2.3.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C} = | y |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

चरण 3.3.2

गुणनखंडों को $e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ में पुन: क्रमित करें.

$| y | = e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

चरण 3.3.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$ को $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$

चरण 4.2

$e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$