कैलकुलस उदाहरण

$y \frac{d y}{d x} = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}}$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$y d y = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y d y = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

चरण 2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $a$ बटे $x$ अचर है, $a$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = 1 + \frac{x}{b}$ .फिर $d u = \frac{1}{b} d x$ , तो $b d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = 1 + \frac{x}{b}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$1 + \frac{x}{b}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{x}{b}]$

चरण 2.3.2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \frac{x}{b}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

चरण 2.3.2.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

चरण 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1

चूंकि $\frac{1}{b}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{b}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 + \frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + \frac{1}{b} \cdot 1$

चरण 2.3.2.1.3.3

$\frac{1}{b}$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + \frac{1}{b}$

चरण 2.3.2.1.4

$0$ और $\frac{1}{b}$ जोड़ें.

$\frac{1}{b}$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{b}} d u$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$\frac{1}{b}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} (1 b) d u$

चरण 2.3.3.2

$b$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} b d u$

चरण 2.3.3.3

$\frac{1}{u^{2}}$ और $b$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{b}{u^{2}} d u$

चरण 2.3.4

चूँकि $b$ बटे $u$ अचर है, $b$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a (b \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

चरण 2.3.5

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$u^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

चरण 2.3.5.2

घातांक को ${(u^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{2 \cdot - 1} d u$

चरण 2.3.5.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{- 2} d u$

चरण 2.3.6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- 2}$ का समाकलन $- u^{- 1}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- u^{- 1} + C_{2})$

चरण 2.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$a b (- u^{- 1} + C_{2})$ को $a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

चरण 2.3.7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1

$a$ और $\frac{1}{u}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = b (- \frac{a}{u}) + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.2

$b$ और $\frac{a}{u}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{u} + C_{2}$

चरण 2.3.8

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + \frac{x}{b}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1.1.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b}{b} + \frac{x}{b}} + K)$

चरण 3.2.2.1.1.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b + x}{b}} + K)$

चरण 3.2.2.1.1.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y^{2} = 2 (- (b a \frac{b}{b + x}) + K)$

चरण 3.2.2.1.1.3

$b a \frac{b}{b + x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1.3.1

$b$ और $\frac{b}{b + x}$ को मिलाएं.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b \cdot b}{b + x}) + K)$

चरण 3.2.2.1.1.3.2

$b$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b}{b + x}) + K)$

चरण 3.2.2.1.1.3.3

$b$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b^{1}}{b + x}) + K)$

चरण 3.2.2.1.1.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1 + 1}}{b + x}) + K)$

चरण 3.2.2.1.1.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{2}}{b + x}) + K)$

चरण 3.2.2.1.1.3.6

$a$ और $\frac{b^{2}}{b + x}$ को मिलाएं.

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + K)$

चरण 3.2.2.1.2

$K$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{b + x}{b + x}$ से गुणा करें.

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + \frac{K (b + x)}{b + x})$

चरण 3.2.2.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K (b + x)}{b + x}$

चरण 3.2.2.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$

चरण 3.2.2.1.5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.5.1

$2$ और $\frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$ को मिलाएं.

$y^{2} = \frac{2 (- a b^{2} + K b + K x)}{b + x}$

चरण 3.2.2.1.5.2

$- a b^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) + K b + K x)}{b + x}$

चरण 3.2.2.1.5.3

$K b$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) - (- K b) + K x)}{b + x}$

चरण 3.2.2.1.5.4

$- (a b^{2}) - (- K b)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) + K x)}{b + x}$

चरण 3.2.2.1.5.5

$K x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) - (- K x))}{b + x}$

चरण 3.2.2.1.5.6

$- (a b^{2} - K b) - (- K x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

चरण 3.2.2.1.5.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.5.7.1

$- (a b^{2} - K b - K x)$ को $- 1 (a b^{2} - K b - K x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{2} = \frac{2 (- 1 (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

चरण 3.2.2.1.5.7.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y^{2} = - \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}$

चरण 3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

चरण 3.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

चरण 3.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

चरण 3.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$