कैलकुलस उदाहरण

$\frac{2 d y}{d x} + y = 3$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंड $\frac{d y}{d x}$ बाहर.

$2 \frac{d y}{d x} + y = 3$

चरण 1.2

$\frac{d y}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$

चरण 1.2.2

$2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

चरण 1.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

चरण 1.2.2.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

चरण 1.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

चरण 1.4

$\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

चरण 1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = 1 d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = \int d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .फिर $d u = - \frac{1}{2} d y$ , तो $- 2 d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} - \frac{y}{2}]$

चरण 2.2.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ है.

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

चरण 2.2.1.1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $\frac{3}{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{3}{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

चरण 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.3.1

चूंकि $- \frac{1}{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- \frac{y}{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 2.2.1.1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - \frac{1}{2}$

चरण 2.2.1.1.4

$0$ में से $\frac{1}{2}$ घटाएं.

$- \frac{1}{2}$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

चरण 2.2.2.2

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d x$

चरण 2.2.2.3

$\frac{1}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d x$

चरण 2.2.2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d x$

चरण 2.2.2.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d x$

चरण 2.2.2.6

$- 2$ और $\frac{1}{u}$ को मिलाएं.

$\int \frac{- 2}{u} d u = \int d x$

चरण 2.2.2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int - \frac{2}{u} d u = \int d x$

चरण 2.2.3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{2}{u} d u = \int d x$

चरण 2.2.4

चूँकि $2$ बटे $u$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$- (2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

चरण 2.2.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

चरण 2.2.6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$- 2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

चरण 2.2.7

सरल करें.

$- 2 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

चरण 2.2.8

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ से बदलें.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) + C_{1} = \int d x$

चरण 2.2.9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = \int d x$

चरण 2.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = x + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

चरण 3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

चरण 3.1.2.1.2

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

चरण 3.1.2.2

$y$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

चरण 3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} + \frac{C}{- 2}$

चरण 3.1.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$

चरण 3.2

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |)} = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

चरण 3.3

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} = | \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |$

चरण 3.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

समीकरण को $| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

चरण 3.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$\frac{3}{2} - \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

चरण 3.4.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{3}{2}$ घटाएं.

$- \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2}$

चरण 3.4.4

समीकरण के दोनों पक्षों को $- 2$ से गुणा करें.

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

चरण 3.4.5

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1.1

$- 2 (- \frac{y}{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1.1.1.1

$- \frac{y}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

चरण 3.4.5.1.1.1.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

चरण 3.4.5.1.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

चरण 3.4.5.1.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- - y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

चरण 3.4.5.1.1.2

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1.1.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

चरण 3.4.5.1.1.2.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

चरण 3.4.5.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.2.1

$- 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.2.1.1

$\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = - 2 ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

चरण 3.4.5.2.1.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.2.1.2.1

$\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y = - 2 (\frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

चरण 3.4.5.2.1.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = - 2 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

चरण 3.4.5.2.1.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.2.1.2.3.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = 2 (- 1) \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

चरण 3.4.5.2.1.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = 2 \cdot - 1 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

चरण 3.4.5.2.1.2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = - ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3)$

चरण 3.4.5.2.1.3

$2$ को $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - 3)$

चरण 3.4.5.2.1.4

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.2.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}})) - - 3$

चरण 3.4.5.2.1.4.2

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.2.1.4.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - - 3$

चरण 3.4.5.2.1.4.2.2

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) + 3$

चरण 3.4.6

$- \frac{x}{2}$ और $- \frac{C}{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{2} - \frac{x}{2}}) + 3$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = - 2 (\pm e^{C - \frac{x}{2}}) + 3$

चरण 4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} + C}) + 3$

चरण 4.3

$e^{- \frac{x}{2} + C}$ को $e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2}} e^{C}) + 3$

चरण 4.4

$e^{- \frac{x}{2}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{x}{2}}) + 3$

चरण 4.5

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = - 2 (C e^{- \frac{x}{2}}) + 3$