कैलकुलस उदाहरण

$x y^{4} d x + (y^{2} + 2) e^{x} d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y^{4} d x$ घटाएं.

$(y^{2} + 2) e^{x} d y = - x y^{4} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{e^{x} y^{4}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$e^{x} y^{4}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

चरण 3.1.2

$(y^{2} + 2) e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

चरण 3.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

चरण 3.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{4}} (y^{2} + 2) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

चरण 3.2

$\frac{1}{y^{4}}$ को $y^{2} + 2$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

चरण 3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

चरण 3.4

$y^{4}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$- \frac{1}{e^{x} y^{4}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

चरण 3.4.2

$e^{x} y^{4}$ में से $y^{4}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (x y^{4}) d x$

चरण 3.4.3

$x y^{4}$ में से $y^{4}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

चरण 3.4.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

चरण 3.4.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x}} x d x$

चरण 3.5

$\frac{- 1}{e^{x}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- x}{e^{x}} d x$

चरण 3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$y^{4}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int (y^{2} + 2) {(y^{4})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2.1.2

घातांक को ${(y^{4})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{2} + 2) y^{4 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2.1.2.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int (y^{2} + 2) y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2.2

$(y^{2} + 2) y^{- 4}$ गुणा करें.

$\int y^{2} y^{- 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2.3

घातांक जोड़कर $y^{2}$ को $y^{- 4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int y^{2 - 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2.3.2

$2$ में से $4$ घटाएं.

$\int y^{- 2} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int y^{- 2} d y + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2.5

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{- 2}$ का समाकलन $- y^{- 1}$ है.

$- y^{- 1} + C_{1} + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2.6

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 \int y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2.7

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{- 4}$ का समाकलन $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ है.

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.8.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.8.1.1

$y^{- 3}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2.8.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $y^{- 3}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2.8.2

सरल करें.

$- \frac{1}{y} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2.8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.8.3.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{y} - 2 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2.8.3.2

$- 2$ और $\frac{1}{3 y^{3}}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{y} + \frac{- 2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.2.8.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{x}} d x$

चरण 4.3.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$e^{x}$ के घातांक को नकारें और भाजक से बाहर निकालें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

चरण 4.3.2.2

घातांक को ${(e^{x})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{x \cdot - 1} d x$

चरण 4.3.2.2.2

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

चरण 4.3.2.2.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- x} d x$

चरण 4.3.3

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{- x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

चरण 4.3.4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

चरण 4.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

चरण 4.3.5.2

$\int e^{- x} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

चरण 4.3.6

मान लीजिए $u = - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.6.1

मान लें $u = - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.6.1.1

$- x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- x]$

चरण 4.3.6.1.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.3.6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 4.3.6.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 4.3.6.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

चरण 4.3.7

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

चरण 4.3.8

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$

चरण 4.3.9

$- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$ को $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$

चरण 4.3.10

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{4}$

चरण 4.3.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

चरण 4.3.11.2

$- (- x e^{- x})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.11.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

चरण 4.3.11.2.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} - - e^{- x} + C_{4}$

चरण 4.3.11.3

$- - e^{- x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.11.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C_{4}$

चरण 4.3.11.3.2

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + e^{- x} + C_{4}$

चरण 4.3.12

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = e^{- x} x + e^{- x} + C_{4}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} = e^{- x} x + e^{- x} + K$