कैलकुलस उदाहरण

$(2 x + y^{3}) d x + (3 x y^{2} - e^{2 y}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y^{3}]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x + y^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

चरण 1.3

चूंकि $y$ के संबंध में $2 x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 y^{2}$

चरण 1.5

$0$ और $3 y^{2}$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 3 x y^{2} - e^{2 y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} - e^{2 y}]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x y^{2} - e^{2 y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $3 y^{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x y^{2}$ का व्युत्पन्न $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

चरण 2.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- e^{2 y}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{2 y}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 0$

चरण 2.4.2

$3 y^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $3 y^{2}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $3 y^{2}$ प्रतिस्थापित करें.

$3 y^{2} = 3 y^{2}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$3 y^{2} = 3 y^{2}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 2 x + y^{3} d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int y^{3} d x$

चरण 5.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int y^{3} d x$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x$

चरण 5.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C$

चरण 5.5

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C$

चरण 5.6

सरल करें.

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [x^{2} + y^{3} x + g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

चरण 8.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x^{2} + y^{3} x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

चरण 8.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y^{3} x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ है.

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

चरण 8.3.2

$0 + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

चरण 8.3.3

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$0$ और $3 x y^{2}$ जोड़ें.

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

चरण 8.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 y^{2} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

चरण 9.1.2

$3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

गुणनखंडों को $3 x y^{2}$ और $- 3 y^{2} x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

चरण 9.1.2.2

$3 y^{2} x$ में से $3 y^{2} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 0 - e^{2 y}$

चरण 9.1.2.3

$0$ में से $e^{2 y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $- e^{2 y}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{2 y} d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - e^{2 y} d y$

चरण 10.3

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - \int e^{2 y} d y$

चरण 10.4

मान लीजिए $u = 2 y$ .फिर $d u = 2 d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

मान लें $u = 2 y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1.1

$2 y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [2 y]$

चरण 10.4.1.2

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$2 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 10.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 10.4.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 10.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (y) = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 10.5

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 10.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

चरण 10.7

कोष्ठक हटा दें.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

चरण 10.8

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$g (y) = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

चरण 10.9

सरल करें.

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

चरण 10.10

$u$ की सभी घटनाओं को $2 y$ से बदलें.

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

चरण 11

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

चरण 12

$e^{2 y}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{e^{2 y}}{2} + C$