कैलकुलस उदाहरण

$(2 x^{2} - y e^{x}) d x - e^{x} d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 x^{2} - y e^{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} - y e^{x}]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x^{2} - y e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $2 x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [- y e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- e^{x}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y e^{x}$ का व्युत्पन्न $- e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x} \cdot 1$

चरण 1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x}$

चरण 1.4

$0$ में से $e^{x}$ घटाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{x}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = - e^{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

चरण 2.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{x}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 2.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{x}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- e^{x}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- e^{x}$ प्रतिस्थापित करें.

$- e^{x} = - e^{x}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$- e^{x} = - e^{x}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int - e^{x} d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = - e^{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = - e^{x} y + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = - e^{x} y + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y + g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- e^{x} y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $- y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{x} y$ का व्युत्पन्न $- y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$- y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

चरण 8.3.2

$- y e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$- y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} - e^{x} y = 2 x^{2} - y e^{x}$

चरण 8.5.2

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d x} - e^{x} y$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} - y e^{x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $y e^{x}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} - y e^{x} + y e^{x}$

चरण 9.1.2

$2 x^{2} - y e^{x} + y e^{x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$- y e^{x}$ और $y e^{x}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} + 0$

चरण 9.1.2.2

$2 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2}$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $2 x^{2}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{2} d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 2 x^{2} d x$

चरण 10.3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = 2 \int x^{2} d x$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$g (x) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

चरण 10.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ को $2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

चरण 10.5.2

$2$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{2}{3} x^{3} + C$

चरण 11

$f (x, y) = - e^{x} y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2}{3} x^{3} + C$

चरण 12

$f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2}{3} x^{3} + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{2}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2 x^{3}}{3} + C$

चरण 12.2

गुणनखंडों को $f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2 x^{3}}{3} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = - y e^{x} + \frac{2 x^{3}}{3} + C$