कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = x y$ , $y (0) = 1$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

चरण 1.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

चरण 1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

चरण 1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = x d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x d x$

चरण 2.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

चरण 3.3.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

चरण 3.3.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ को $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

चरण 4.2

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$

चरण 5

$x$ के लिए $0$ और $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2}}$

चरण 6

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $C e^{\frac{0^{2}}{2}} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} = 1$

चरण 6.2

$C e^{\frac{0^{2}}{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$C e^{\frac{0}{2}} = 1$

चरण 6.2.2

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$C e^{0} = 1$

चरण 6.2.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$C \cdot 1 = 1$

चरण 6.2.4

$C$ को $1$ से गुणा करें.

$C = 1$

चरण 7

$1$ को $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 1 e^{\frac{x^{2}}{2}}$

चरण 7.2

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$y = e^{\frac{x^{2}}{2}}$