कैलकुलस उदाहरण

$x (2 x^{2} + y^{2}) d x + y (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (2 x^{2} + y^{2})]$

चरण 1.2

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x (2 x^{2} + y^{2})$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$

चरण 1.3

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x^{2} + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

चरण 1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $2 x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

चरण 1.5

$0$ और $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y)$

चरण 1.7

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = y (x^{2} + 2 y^{2})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (x^{2} + 2 y^{2})]$

चरण 2.2

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $y (x^{2} + 2 y^{2})$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 2 y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $2 y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 0)$

चरण 2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

चरण 2.6.2

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

चरण 2.6.3

$2 y x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 x y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 x y$ प्रतिस्थापित करें.

$2 x y = 2 x y$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$2 x y = 2 x y$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x (2 x^{2} + y^{2}) d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x (2 x^{2} + y^{2})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = \int x (2 x^{2}) + x y^{2} d x$

चरण 5.1.2

कोष्ठक हटा दें.

$f (x, y) = \int x \cdot 2 x^{2} + x y^{2} d x$

चरण 5.1.3

$x$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = \int 2 x \cdot x^{2} + x y^{2} d x$

चरण 5.1.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x, y) = \int 2 (x^{1} x^{2}) + x y^{2} d x$

चरण 5.1.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (x, y) = \int 2 x^{1 + 2} + x y^{2} d x$

चरण 5.1.6

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f (x, y) = \int 2 x^{3} + x y^{2} d x$

चरण 5.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int 2 x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

चरण 5.3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 2 \int x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

चरण 5.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x y^{2} d x$

चरण 5.5

चूँकि $y^{2}$ बटे $x$ अचर है, $y^{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} \int x d x$

चरण 5.6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.7

सरल करें.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

$2$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{2}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5.8.2

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5.8.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5.8.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5.8.3

$y^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

चरण 5.8.4

$\frac{y^{2}}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

चरण 5.9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 8.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 8.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{4}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{4}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 8.3.2

$\frac{y^{2}}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 8.3.3

चूंकि $\frac{x^{2}}{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$0 + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 8.3.4

$0 + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 8.3.5

$2$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 8.3.6

$\frac{2 x^{2}}{2}$ और $y$ को मिलाएं.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 8.3.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 8.3.7.2

$x^{2} y$ को $1$ से विभाजित करें.

$0 + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$0 + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$0$ और $x^{2} y$ जोड़ें.

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 8.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$y (x^{2} + 2 y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = 0 + 0 + y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 9.1.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 9.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + y (2 y^{2})$

चरण 9.1.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}$

चरण 9.1.1.5

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.5.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y)$

चरण 9.1.1.5.2

$y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.5.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})$

चरण 9.1.1.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{2 + 1}$

चरण 9.1.1.5.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{3}$

चरण 9.1.2

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{2} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$

चरण 9.1.2.2

$y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.2.1

गुणनखंडों को $y x^{2}$ और $- x^{2} y$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 y^{3} - x^{2} y$

चरण 9.1.2.2.2

$x^{2} y$ में से $x^{2} y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} + 0$

चरण 9.1.2.2.3

$2 y^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $2 y^{3}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y^{3} d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int 2 y^{3} d y$

चरण 10.3

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 2 \int y^{3} d y$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} y^{4}$ है.

$g (y) = 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

चरण 10.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ को $2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = 2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

चरण 10.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$2$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$g (y) = \frac{2}{4} y^{4} + C$

चरण 10.5.2.2

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (y) = \frac{2 (1)}{4} y^{4} + C$

चरण 10.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

चरण 10.5.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

चरण 10.5.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{4} + C$

चरण 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

चरण 12.2

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

चरण 12.3

$\frac{y^{2}}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

चरण 12.4

$\frac{1}{2}$ और $y^{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} + C$