कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ , $y (0) = 2$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $y^{2}$ से गुणा करें.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

चरण 1.2

$y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$y^{2} d y = x^{2} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

चरण 2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} y^{3}$ है.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

चरण 2.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करें.

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ और $y^{3}$ को मिलाएं.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

चरण 3.2.1.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

चरण 3.2.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

चरण 3.2.2.1.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

चरण 3.2.2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{3} = x^{3} + 3 K$

चरण 3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$

चरण 5

$x$ के लिए $0$ और $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ में $y$ के लिए $2$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$2 = \sqrt[3]{0^{3} + K}$

चरण 6

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$

चरण 6.2

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें.

${\sqrt[3]{0^{3} + K}}^{3} = 2^{3}$

चरण 6.3

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$\sqrt[3]{0^{3} + K}$ को ${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

चरण 6.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

घातांक को ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

चरण 6.3.2.1.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

चरण 6.3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(0^{3} + K)}^{1} = 2^{3}$

चरण 6.3.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

${(0 + K)}^{1} = 2^{3}$

चरण 6.3.2.1.3

$0$ और $K$ जोड़ें.

$K^{1} = 2^{3}$

चरण 6.3.2.1.4

सरल करें.

$K = 2^{3}$

चरण 6.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$K = 8$

चरण 7

$8$ को $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$8$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 8}$

चरण 7.2

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 2^{3}}$

चरण 7.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के योग का उपयोग करके गुणनखंड करें, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ जहाँ $a = x$ और $b = 2$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}$

चरण 7.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}$

चरण 7.4.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$