कैलकुलस उदाहरण

$4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

चरण 1

मान लें $v = \frac{d y}{d x}$ . फिर $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . आश्रित चर $v$ और स्वतंत्र चर $x$ के साथ डिफरेन्शल इक्वेश़न प्राप्त करने के लिए $\frac{d y}{d x}$ के लिए $v$ और $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ के लिए $\frac{d v}{d x}$ को प्रतिस्थापित करें.

$4 \frac{d v}{d x} + v = 0$

चरण 2

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{d v}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $v$ घटाएं.

$4 \frac{d v}{d x} = - v$

चरण 2.1.2

$4 \frac{d v}{d x} = - v$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$4 \frac{d v}{d x} = - v$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

चरण 2.1.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

चरण 2.1.2.2.1.2

$\frac{d v}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- v}{4}$

चरण 2.1.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{v}{4}$

चरण 2.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{v}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} (- \frac{v}{4})$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

चरण 2.3.2

$v$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$- \frac{1}{v}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

चरण 2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

चरण 2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{4}$

चरण 2.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{v} d v = - \frac{1}{4} d x$

चरण 3

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{v} d v = \int - \frac{1}{4} d x$

चरण 3.2

$v$ के संबंध में $\frac{1}{v}$ का इंटीग्रल $\ln (| v |)$ है.

$\ln (| v |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4} d x$

चरण 3.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| v |) + C_{1} = - \frac{1}{4} x + C_{2}$

चरण 3.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C_{3}$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$

चरण 4

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$v$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

चरण 4.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}} = | v |$

चरण 4.3

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण को $| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

चरण 4.3.2

$x$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$| v | = e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

चरण 4.3.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$v = \pm e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

चरण 5

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$ को $e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$v = \pm e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$

चरण 5.2

$e^{- \frac{x}{4}}$ और $e^{C_{3}}$ को पुन: क्रमित करें.

$v = \pm e^{C_{3}} e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 5.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$v = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 6

$v$ की सभी घटनाओं को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 7

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

चरण 8

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

चरण 8.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

चरण 8.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूँकि $C_{4}$ बटे $x$ अचर है, $C_{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{- \frac{x}{4}} d x$

चरण 8.3.2

मान लीजिए $u = - \frac{x}{4}$ .फिर $d u = - \frac{1}{4} d x$ , तो $- 4 d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

मान लें $u = - \frac{x}{4}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1.1

$- \frac{x}{4}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]$

चरण 8.3.2.1.2

चूंकि $- \frac{1}{4}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{x}{4}$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.3.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \frac{1}{4} \cdot 1$

चरण 8.3.2.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{4}$

चरण 8.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{4}} d u$

चरण 8.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

चरण 8.3.3.2

$\frac{1}{4}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} (1 \cdot 4) d u$

चरण 8.3.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \cdot 4 d u$

चरण 8.3.3.4

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + C_{5} = C_{4} \int - 4 e^{u} d u$

चरण 8.3.4

चूँकि $- 4$ बटे $u$ अचर है, $- 4$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 \int e^{u} d u)$

चरण 8.3.5

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 (e^{u} + C_{6}))$

चरण 8.3.6

सरल करें.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{u}) + C_{7}$

चरण 8.3.7

$u$ की सभी घटनाओं को $- \frac{x}{4}$ से बदलें.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{x}{4}}) + C_{7}$

चरण 8.3.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{1}{4} x}) + C_{7}$

चरण 8.3.9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{5} = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C_{4} + C_{7}$

चरण 8.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $D$ के रूप में समूहित करें.

$y = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C + D$