कैलकुलस उदाहरण

$x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x]$

चरण 1.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x^{2} y + 4 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 4 y]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} y + 4 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x^{2} y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 2.3.3

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$2 y x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x$

चरण 2.5.2

$2 y x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $0$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 x y$ प्रतिस्थापित करें.

$0 = 2 x y$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$0 = 2 x y$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$0$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$2 x y$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - (2 x y)}{N}$

चरण 4.3

$x^{2} y + 4 y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x^{2} y + 4 y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - (2 x y)}{x^{2} y + 4 y}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{0 - 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

चरण 4.3.2.2

$0$ में से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{- 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

चरण 4.3.3

$x^{2} y + 4 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$x^{2} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + 4 y}$

चरण 4.3.3.2

$4 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + y \cdot 4}$

चरण 4.3.3.3

$y x^{2} + y \cdot 4$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

चरण 4.3.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

चरण 4.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 4}$

चरण 4.3.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 4}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

चरण 5.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)}$

चरण 5.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x}$

चरण 5.4

मान लीजिए $u = x^{2} + 4$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

मान लें $u = x^{2} + 4$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

$x^{2} + 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

चरण 5.4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 5.4.1.3

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 5.4.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 5.4.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 5.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

चरण 5.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

चरण 5.5.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

चरण 5.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

चरण 5.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$\frac{1}{2}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 5.7.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 5.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 5.7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 5.7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 5.7.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 5.8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

चरण 5.9

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

चरण 5.10

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 4$ से बदलें.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 4 |)} + C$

चरण 5.11

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.1

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (| x^{2} + 4 |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{- 1})} + C$

चरण 5.11.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| x^{2} + 4 |}^{- 1} + C$

चरण 5.11.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 4 |} + C$

चरण 6

$x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{x^{2} + 4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x$ को $\frac{1}{x^{2} + 4}$ से गुणा करें.

$x \frac{1}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

चरण 6.2

$x$ और $\frac{1}{x^{2} + 4}$ को मिलाएं.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

चरण 6.3

$x^{2} y + 4 y$ को $\frac{1}{x^{2} + 4}$ से गुणा करें.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) \frac{1}{x^{2} + 4} d y = 0$

चरण 6.4

$x^{2} y + 4 y$ को $\frac{1}{x^{2} + 4}$ से गुणा करें.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{x^{2} y + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

चरण 6.5

$x^{2} y + 4 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$x^{2} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

चरण 6.5.2

$4 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + y \cdot 4}{x^{2} + 4} d y = 0$

चरण 6.5.3

$y x^{2} + y \cdot 4$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

चरण 6.6

$x^{2} + 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

चरण 6.6.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + y d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

चरण 11.3

चूंकि $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

चरण 11.5

$0$ और $\frac{d g}{d x}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

चरण 12

$g (x)$ को खोजने के लिए $\frac{x}{x^{2} + 4}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

चरण 12.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

चरण 12.3

मान लीजिए $u = x^{2} + 4$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

मान लें $u = x^{2} + 4$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1.1

$x^{2} + 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

चरण 12.3.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 12.3.1.3

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 12.3.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 12.3.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 12.3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 12.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$g (x) = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 12.4.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$g (x) = \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

चरण 12.4.3

$2$ को $u$ से गुणा करें.

$g (x) = \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 12.5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 12.6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$g (x) = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

चरण 12.7

सरल करें.

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

चरण 12.8

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 4$ से बदलें.

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

चरण 13

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

चरण 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

चरण 14.1.2

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |)$ को सरल करें.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 14.2

$\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

चरण 14.3

$\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

चरण 14.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

चरण 14.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.1

$\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.1.1

$\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

चरण 14.5.1.2

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

चरण 14.5.2

घातांक को ${({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

चरण 14.5.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

चरण 14.5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{1})}{2} + C$

चरण 14.5.3

सरल करें.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$